ろんりについてまとめる (集合編)

はじめに

• この記事は「ろんりと集合」という中内伸光さんの本を参考にしています．
• この本で学習したことのうち，定理みたいなものをまとめました．
• この本の引用を多少用いています．
• この本の本質的なことはこの記事からは確認できません．

まとめ集

ろんりについてまとめる

集合

集合とは，「ものの集まり」のこと．

特別な集合の記号

• N (Natural Number) : 自然数の全体からなる集合
• Z (Zahl) : 整数の全体からなる集合
• Q (Quotient) : 有理数の全体からなる集合
• R (Real Number) : 実数の全体からなる集合
• C (Complex Number) : 複素数の全体からなる集合

集合の要素

集合を構成する個々の”もの”を，その集合の要素（あるいは元, element）という．

$ x \in A $

xはAに含まれる．（xはAに属する）

集合の表記法

• 外延的記法
  • 要素を並べる
  • $ \{ x_{1}, x_{2}, \cdots \} $
• 内包的記法
  • 要素になる条件を書く
  • $ \{ x|xは条件〜を満たす \} $

等しい

集合Aと集合Bが等しいとは，

• (Aの要素がすべてBの要素) $\cap$ (Bの要素がすべてAの要素)
• $ A = B $

例

$ \{1,2,3\}=\{1,2,3,2\}=\{3,2,1\}=\{2,3,1,2\} $

有限集合と無限集合

$ A = \{1,2,3,4\} $
$ B = \{x|x<N\}$

• 有限集合

  • 集合の要素が有限個
  • $ \#A = 4 $
  • $ |A| = 4 $

• 無限集合

  • 集合の要素が無限個
  • $ \#B = \infty $

• 空集合

  • 要素が1つもない集合
  • $ \{\} = \phi $

部分集合，共通部分，和集合

$ A = \{4,5\} $
$ B = \{2,3,4,5\} $
$ C = \{1,2,3\} $

• 部分集合

  • AはBに含まれる
  • Aの全ての要素がBの要素担っている
  • $ A \subset B $

• 共通部分

  • 共通の要素の集合
  • AにもBにも含まれている要素の集合
  • $ A \cap B = \{x|x \in A かつ x \in B\} = \{4,5\} $
  • $ B \cap C = \{2,3\} $
  • 集合同士で共通部分が無いとき，互いに素(muutually disjoint)

• 和集合

  • 複数の集合の要素をすべて集めた集合
  • $ A \cup B = \{x|x \in A あるいは x \in B\} $

集合と論理の対応関係

集合	対応	論理