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ろんりについてまとめる (集合編)

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はじめに


  • この記事は「ろんりと集合」という中内伸光さんの本を参考にしています.

  • この本で学習したことのうち,定理みたいなものをまとめました.

  • この本の引用を多少用いています.

  • この本の本質的なことはこの記事からは確認できません.


まとめ集

ろんりについてまとめる


集合

集合とは,「ものの集まり」のこと.


特別な集合の記号


  • N (Natural Number) : 自然数の全体からなる集合

  • Z (Zahl) : 整数の全体からなる集合

  • Q (Quotient) : 有理数の全体からなる集合

  • R (Real Number) : 実数の全体からなる集合

  • C (Complex Number) : 複素数の全体からなる集合


集合の要素

集合を構成する個々の”もの”を,その集合の要素(あるいは元, element)という.

$ x \in A $

xはAに含まれる.(xはAに属する)


集合の表記法


  • 外延的記法


    • 要素を並べる

    • $ \{ x_{1}, x_{2}, \cdots \} $



  • 内包的記法


    • 要素になる条件を書く

    • $ \{ x|xは条件〜を満たす \} $




等しい

集合Aと集合Bが等しいとは,


  • (Aの要素がすべてBの要素) $\cap$ (Bの要素がすべてAの要素)

  • $ A = B $


$ \{1,2,3\}=\{1,2,3,2\}=\{3,2,1\}=\{2,3,1,2\} $


有限集合と無限集合

$ A = \{1,2,3,4\} $

$ B = \{x|x<N\}$



  • 有限集合


    • 集合の要素が有限個

    • $ \#A = 4 $

    • $ |A| = 4 $




  • 無限集合


    • 集合の要素が無限個

    • $ \#B = \infty $




  • 空集合


    • 要素が1つもない集合

    • $ \{\} = \phi $




部分集合,共通部分,和集合

$ A = \{4,5\} $

$ B = \{2,3,4,5\} $

$ C = \{1,2,3\} $



  • 部分集合


    • AはBに含まれる

    • Aの全ての要素がBの要素担っている

    • $ A \subset B $




  • 共通部分


    • 共通の要素の集合

    • AにもBにも含まれている要素の集合

    • $ A \cap B = \{x|x \in A かつ x \in B\} = \{4,5\} $

    • $ B \cap C = \{2,3\} $

    • 集合同士で共通部分が無いとき,互いに素(muutually disjoint)




  • 和集合


    • 複数の集合の要素をすべて集めた集合

    • $ A \cup B = \{x|x \in A あるいは x \in B\} $




集合と論理の対応関係

集合
対応
論理