はじめに
この記事は「ろんりと集合」という中内伸光さんの本を参考に記述しています．
この本で勉強をしていて、大事なことをまとめようとしています．
この本の引用を多少用いています．
この本の本質的なことはこの記事からは確認できません．
$ \lnot (完成) \lor \lnot \lnot (未完成) $
ろんり
文の構造を記号化すると、文の構造を把握しやすくなる
- 思考の節約
記号論理学
- 命題論理学
- 「〜である．」
- 述語論理学
- 「すべての〜、ある〜」
論理について
- 「対象としての『論理』」
- 「『論理』を議論するための『論理』」（メタ論理）
命題
- 「客観的に正しいか正しくないかが判断できる主張」
- 誰が見ても「正しい」と判断できる主張
- 誰が見ても「正しくない」と判断できる主張
真理値
- 「正しい」ことを「真(1)である」
- 「正しくない」ことを「偽(0)である」
真理値表
NOT
$ \lnot p $
| $p$ | $ \lnot p $ |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
AND
$ p \land q $
| $p$ | $q$ | $ p \land q $ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
OR
$ p \lor q $
| $p$ | $q$ | $ p \lor q $ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
同値
同じものではないけれど、同じと見なしたい動機がある
$ p \equiv q$
反射法則
二重否定は元の命題と同値
$ \lnot \lnot p \equiv p $
結合法則
どこから計算しても同じ
| p | q | r | $ p \land q $ | $ (p \land q) \land r $ | $ q \land r $ | $ p \land (q \land r) $ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
ANDだけでなく、ORについても結合法則が成り立つ．
* $ (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) $
* $ (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) $
記号論理では、ある法則が成り立つとき、
「その法則の$\land$を$\lor$に、そして、$\lor$を$\land$に置き換えた法則が成り立つ」
原理、これが双対性．（２つのことがら・概念が互いに鏡で映し合っている対称性がある状況）
命題論理の7つの法則
1. 反射法則
二重否定は元の命題と同値
$ \lnot \lnot p \equiv p $
2. ベキ等法則
AND、ORを何回繰り返しても同値
- $ p \land p \equiv p $
- $ p \lor p \equiv p $
3. 交換法則
ひっくり返しても同値
- $ p \land q \equiv q \land p $
- $ p \lor q \equiv q \lor p $
交換法則が成り立つ場合の方が少数
* 爪を切って、爪を研ぐ．
* 爪を研いで、爪を切る．
4. 結合法則
どこから計算しても同値
$ (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) $
$ (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) $
5. 分配法則
分配しても同値
- $ p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) $
- $ p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) $
左からも右からも分配できる．
$ (p \lor q) \land r $
6. 吸収法則
同値変形の小道具
- $ p \land (p \lor q) \equiv p $
- $ p \lor (p \land q) \equiv p $
| p | q | $ p \lor q $ | $ p \land (p \lor q) $ | $ p \land q $ | $ p \lor (p \land q) $ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
吸収法則を用いいなければ、簡単な式にできないものもある．
(分配法則、ベキ当法則)
$ p \land (p \lor q) \equiv (p \land p) \lor (p \land q) \equiv p \lor (p \land q) $
じつはこれはPと同値ですけどね．
7. ド・モルガンの法則
「否定の必須道具」
- $ \lnot(p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q $
- $ \lnot(p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q $
同値変形
- 恒真命題 : $I$
- 真理値を1しか取らない命題
- 恒偽命題 : $O$
- 真理値を0しか取らない命題
$\lnot I = O$
$\lnot O = I$
恒真命題の性質
- $ p \land I \equiv p $
- $ p \lor I \equiv I $
恒偽命題の性質
- $ p \land O \equiv O $
- $ p \lor O \equiv p $
恒真命題と恒偽命題は双対的
矛盾法則
$ p \land \lnot p \equiv O $
拝中法則
$ p \lor \lnot p \equiv I $
継続中ですー．