計算力学技術者(振動2級)の問題でよく出てくる計算手法に関して、各分類毎と特徴を整理する。
連立一次方程式の解法
直接法：行列変形を繰り返して厳密解を算出する。行列次数が$n$の場合、計算量は$O(n^3)$程度となる。
反復法：繰り返し演算によって近似解を算出する。高速に計算可能だが、すべての問題(行列)に適用できるわけではない。
| 手法名 |
直接法/反復法 |
参考記事 |
| ガウス法 |
直接法 |
- |
| ガウス-ジョルダン法 |
直接法 |
- |
| LU分解法 |
直接法 |
- |
| ガウス-ザイデル法 |
反復法 |
- |
| SOR法 |
反復法 |
- |
| 共役勾配法 |
反復法 |
- |
固有値分解の数値計算(確認中)
手法によって、すべての固有値と固有ベクトルが求められるものや特定個数のみ求められるもの等々の特徴があるので以下にまとめる。
固有値と固有ベクトルが同時に算出されるものもあれば、固有ベクトルが算出できた後に固有値が求まるといったパターンも存在する。その場合は、以下表内に()書きで書いた。例えばべき乗法は固有値の欄が()書きになっているので、最大固有値に対応する固有ベクトルが先に算出され、それを利用して最大固有値を求める。
| 手法名 |
解法の特徴 |
固有値 |
固有ベクトル |
参考記事 |
| べき乗法 |
初期ベクトルと行列の積の繰り返し |
(最大値のみ) |
最大固有値に対応するベクトルのみ |
- |
| 逆反復法 |
↑ |
(最小値のみ) |
最小固有値に対応するベクトルのみ |
- |
| ヤコビ法 |
行列の相似変換の繰り返し |
全て |
全て |
- |
| QR法 |
行列の相似変換の繰り返し(QR分解の対角化) |
全て |
? |
- |
| サブスペース法 |
小さな行列に対してべき乗法やヤコビ法を適用 |
指定個数 |
- |
- |
| ランチョス法 |
(3重対角) |
指定個数 |
? |
- |
| ハウスホルダー法 |
ハウスホルダー変換による対角化(3重対角) |
全て |
? |
- |
計算力学技術者試験問題の中で以下の特徴が問われることはないが、各手法によって適用できる行列があるため整理する。
| 手法名 |
Aの特徴 |
| べき乗法 |
非対称行列でも可 |
| 逆反復法 |
↑ |
| ヤコビ法 |
対称行列のみ可 |
| QR法 |
対称行列のみ可 |
| サブスペース法 |
|
| ランチョス法 |
疎行列向け |
| ハウスホルダー法 |
対称行列のみ可 |
微分方程式の時刻歴応答の数値計算
| 手法名 |
陽解法/陰解法 |
タイプ |
参考記事 |
| オイラー法 |
陽解法 |
標準型(1階微分型) |
こちら |
| ルンゲクッタ法 |
陽解法 |
標準型(1階微分型) |
こちら |
| ニューマーク$\beta$法 |
陰解法 |
MCK型(2階微分型) |
こちら |
| ウィルソン$\theta$法 |
陰解法 |
MCK型(2階微分型) |
こちら |
| フーボルト法 |
陰解法 |
MCK型(2階微分型) |
こちら |
微分方程式の離散化解法(確認中)
| 手法名 |
解法の特徴 |
参考記事 |
| 重み付き残差法 |
ガラーキン法:重み関数に試行関数の基底関数を用いる |
- |
| ↑ |
選点法:重み関数にディラックのデルタ関数を用いる |
- |
| ↑ |
最小二乗法:二乗誤差を用いる |
- |
| レイリーリッツ法 |
- |
- |
| 差分法 |
- |
- |
有限要素法 アダプティブメッシュ法
応力集中部を持つ要素モデルの解析制度を向上させるための手法
| 手法名 |
説明 |
| P(Polynomial)法 |
形状関数の次数を上げる |
| H(Height)法 |
メッシュサイズを細かくする |
| R(Relocation)法 |
メッシュを移動させる |
