結論

人によって原因は違うと思うのですが、
僕の場合はインスタンスのサイズが小さすぎて、
（デプロイしたタイミングで）nokogiriをインストール時に
（多分）メモリが足りなくて落ちていました。

なので、インスタンスタイプを大きくすると解決しました。
（私の場合はt2.smallで無事動きました。）

Don't try to run ruby on anything smaller than a t2.small.

挙動

テスト環境として使っていたため、
費用を抑えるため、
インスタンスタイプにt2.nanoを使用しており、
その状態ではbundle installでコケてました。

しかもアプリにリクエストを送ると
クライアントにはcorsエラーが表示されてました。

サーバ内エラーが出てる時に
とりあえずcorsだすのやめて欲しい。

私の場合は、
t2.smallにインスタンスタイプを設定すると動きました。

それ以外にも原因はあるかもですが、

・本番では動いてるのにテスト環境では動かない
・環境によってnokogiriが原因で落ちる時がある

といった場合は一度インスタンスタイプを確認してみてください。

何か間違ってることなどがあればご指摘いただけると幸いです。