はじめに
先端ロジックやメモリの微細化が進むにつれ、リソグラフィ工程は、もはや「光学だけ」や「経験則」では扱えない領域に入っています。特に重要なのは、空間像（aerial image）からレジスト形状への写像を、いかに高精度に、かつ最適化可能な形で扱えるかという点です。
近年、この課題に対する一つの明確な回答として Differentiable Lithography が提案されています。これは、光学像形成・レジスト反応・現像といった一連のプロセスを 微分可能な計算グラフとして定式化し、勾配法によってパラメータ推定や最適化を行うという考え方です。
本記事でいう「微分可能」とは、具体的には次の関係が数式として連続に接続され、勾配が計算できることを指します。マスク形状、照明条件、投影光学系のパラメータ、レジストモデルのパラメータといった 入力 に対して、空間像強度、レジスト反応量、さらには現像後のレジスト形状といった 出力 が定義され、
それらの間の写像について 勾配∂(output) / ∂(parameter）が評価可能である、という意味です。
本記事では、現在の Differentiable Lithography／レジストモデル研究のトレンドを俯瞰するとともに、有償ソフトウェアと無償ソフトウェアで何がどこまで可能なのかという観点から、数理モデルと実装レベルの対応関係を整理していきます。
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Computational Lithography とは何か
Computational Lithography は、マスク形状・照明条件・投影光学系・レジスト反応・現像といった要素を数理モデルとして統合し、計算機上でリソグラフィ工程全体を扱う技術分野です。単なるシミュレーションに留まらず、OPC（Optical Proximity Correction） や SMO（Source Mask Optimization）、さらにはプロセスウィンドウ最大化など、設計・製造条件を能動的に最適化することを目的として発展してきました。
技術トレンド：From Forward Simulation to Differentiable Optimization
近年の大きな潮流は、従来の「順問題（forward simulation）」中心の枠組みから、逆問題（inverse problem）を直接解く計算フレームワークへの移行です。特に、
光学像形成からレジスト形状生成までを連続的な数式モデルとして接続する試み
勾配情報を用いた最適化（gradient-based optimization）
物理モデルとデータ駆動モデルのハイブリッド化
といった方向性が、Computational Lithography の研究トレンドとして顕在化しています。
オープンソースによる Differentiable Lithography の試み
Computational Lithography を「微分可能な逆問題」として扱おうとする動きは、まず研究用途を中心にオープンソース実装として現れてきました。これらのプロジェクトに共通しているのは、量産精度やプロセス完全再現を目指すというよりも、リソグラフィ工程を構成する数理構造を明示的に記述し、最適化可能な形で扱うことに主眼が置かれている点です。
代表例として挙げられるのが TorchResist です。TorchResist では、空間像からレジスト反応量、さらには現像後形状へ至るまでの関係が、PyTorch 上の計算グラフとして実装されています。これにより、レジストモデルの各パラメータに対する勾配を自動微分によって取得でき、モデル同定や感度解析、逆設計といった議論が可能になります。商用ツールではブラックボックス化されがちな「どの物理仮定が結果に効いているのか」という点を、数式とコードのレベルで追跡できる点が大きな特徴です。
同様の思想は、光学像計算やマスク最適化を含めた研究コード群にも見られます。
オープンソース実装では、この Hopkins 型モデルや、より単純化した フーリエ光学（Abbe 型）モデルに基づく像形成を採用し、その上に differentiable な最適化ループを構築する例が多く見られます。これらは、電磁場を直接解く 厳密電磁場モデル（RCWA や FDTD） と比べると物理的忠実度は劣りますが、計算グラフ全体を滑らかに保ちやすく、逆問題や勾配最適化を議論する上では適した抽象化と言えます。その結果、現実の製造条件を忠実に再現することは難しい一方で、「なぜこの最適化が成立するのか」「どの近似が本質的か」といった理論的理解を深めるための実験基盤として機能しています。
重要なのは、これらのオープンソース実装が 商用 Computational Lithography ソフトウェアの代替を目指しているわけではない、という点です。むしろ、商用ツールが内部で行っている処理を分解し、研究者やエンジニアが自らの手で再構成できる余地を与えている点に価値があります。その意味で、オープンソースは「完成されたツール」ではなく、「思考と検証のための足場」と位置づけるのが適切でしょう。
＊ Hopkins型モデルとは、部分空間コヒーレント照明下における像形成を、Transmission Cross Coefficient（TCC） を用いて記述する古典的な計算リソグラフィモデルを指します。マスクの空間周波数成分と投影光学系の特性を二重積分の形で結び付けることで、空間像強度を効率的に計算できる点が特徴です。商用 Computational Lithography では長年にわたり標準的に用いられてきたモデルであり、物理的解釈と計算効率のバランスが取れている一方で、厳密な電磁場効果やマスク三次元構造の影響は近似的に扱われます。
これに対して、より単純なモデルとして Abbe 型（フーリエ光学）モデルがあります。これは像形成を空間周波数領域でのフィルタリング問題として捉えるもので、完全コヒーレント、あるいは単純化した照明条件を仮定します。物理的には最も基本的なモデルですが、数式構造が明快で微分可能性を保ちやすいため、Differentiable Lithography の初期研究や概念検証で多用されます。
一方、より高い物理忠実度を目指す場合には、厳密電磁場モデルが用いられます。代表例としては、周期構造に対して周波数領域で Maxwell 方程式を解く RCWA（Rigorous Coupled-Wave Analysis） や、時間領域で場の伝搬を直接追跡する FDTD（Finite-Difference Time-Domain） 法があります。これらはマスク三次元構造、偏光、近接場効果まで含めて扱える反面、計算コストが非常に高く、計算グラフ全体を微分可能な形で最適化に組み込むことは現実的ではありません。
実際の Computational Lithography では、これらのモデルが用途に応じて階層的に使い分けられています。厳密電磁場モデルは参照解や補正モデルの構築に用いられ、その結果を反映した Hopkins 型モデルが量産向け最適化の中核を担い、さらに研究用途や概念検証では Abbe 型モデルが簡潔な近似として活用される、という関係にあります。
有償ソフトウェアと無償ソフトウェアの比較
ここまで見てきたように、Computational Lithography における「微分可能性」は、単一の技術や実装によって実現されているわけではありません。有償の商用ソフトウェアと、無償・オープンソースの実装は、それぞれ異なる前提と目的のもとで設計されています。この違いを理解することが、「何がどこまでできるのか」を正しく把握する上で重要です。
想定用途
有償ソフトウェア：量産プロセス最適化や実デバイス設計を主目的としており、実ラインでの使用を前提に設計されています。
無償・オープンソース：研究用途や概念検証、数理モデルの理解を主目的としています。
マスク形状最適化（OPC / SMO）
有償ソフトウェア：実プロセスを前提とした高度な OPC / SMO が可能で、量産条件に直結した最適化が行えます。
無償・オープンソース：単純化した物理モデル上での最適化が中心となります。
空間像計算
有償ソフトウェア：Hopkins 型モデルを中心に、高精度かつ高速な像計算が可能です。
無償・オープンソース：Abbe 型、または簡略化した Hopkins 型モデルが主に用いられます。
レジスト・現像モデル
有償ソフトウェア：実測データに基づく高度なキャリブレーション済みモデルが組み込まれています。
無償・オープンソース：簡略化したモデルを、数式として明示的に実装します。
厳密電磁場効果（3D マスクなど）
有償ソフトウェア：内部的に参照計算や補正モデルとして利用されます。
無償・オープンソース：原則として直接扱うことはありません。
微分可能性の扱い
有償ソフトウェア：ツール内部の最適化アルゴリズムのために利用され、ユーザが直接触れることはほとんどありません。
無償・オープンソース：計算グラフ全体に対して、明示的に勾配を計算・利用できます。
勾配の可視化・追跡
有償ソフトウェア：ユーザからは不可、または非常に限定的です。
無償・オープンソース：数式・コードレベルで勾配を追跡できます。
モデル構造の変更
有償ソフトウェア：原則として不可で、ブラックボックスとして扱われます。
無償・オープンソース：自由に変更・拡張が可能です。
再現性・信頼性
有償ソフトウェア：量産実績に基づく高い再現性を持ちます。
無償・オープンソース：モデル仮定や近似に強く依存します。
まとめ
最近、computational lithographyという言葉を聞く機会が増えたので、調査した結果をまとめてみました。今後は無償ソフトで実際の事例をテストしていきたいと思います。
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