列ベクトル

```php # ベクトル import numpy as np x=np.array([2,1]) print(x) x=x.reshape(-1,1) print(x) #[2 1] #[[2],[1]] ```

ベクトルの計算

```php # ベクトルの計算 x=np.array([2,1]).reshape(-1,1) y=np.array([1,3]).reshape(-1,1) print(x) print(y) print(x+y) print(x-y) print(2*x) print(-y) print('ベクトルの内積',x*y) # ベクトルの内積 print('ベクトル同士の内積はスカラーになる', np.dot(x.T,y)) #x:[[2],[1]] #y:[[1],[3]] #x+y[[3],[4]] #x-y[[ 1],[-2]] #2*x:[[4],[2]] #-y[[-1],[-3]] #ベクトルの内積 [[2],[3]] #ベクトル同士の内積はスカラーになる [[5]] ```

ノルム

```php # ノルム x=np.array([4,-3]).reshape(-1,1) print(np.linalg.norm(x)) print('L1ノルム:',np.linalg.norm(x,1)) # L1ノルム print('L2ノルム:',np.linalg.norm(x,2)) # L2ノルム print('L∞ノルム:',np.linalg.norm(x,np.inf)) #L∞ノルム #5.0 #L1ノルム: 7.0 #L2ノルム: 5.0 #L∞ノルム: 4.0 ```

距離

```php # 距離 x=np.array([4,-3]).reshape(-1,1) y=np.array([2,4]).reshape(-1,1) print(np.linalg.norm(x-y)) from scipy.spatial import distance print('ユークリッド距離:',distance.euclidean(x,y)) # ユークリッド距離 print('マンハッタン距離:',distance.cityblock(x,y))# マンハッタン距離 print('チェビシェフ距離:',distance.chebyshev(x,y)) # チェビシェフ距離 #7.280109889280518 #ユークリッド距離: 7.280109889280518 #マンハッタン距離: 9 #チェビシェフ距離: 7 ```

内積

```php # 内積 x=np.array([4,-3]).reshape(-1,1) y=np.array([2,4]).reshape(-1,1) print(np.dot(x.T,y))#ベクトル同士の内積はスカラーになるが、Pythonでは要素が一つだけのNumpyのarrayが返ってくる print(np.dot(x.T,y)[0,0]) #[[-4]] #-4 ```

行列式

```php # 行列式 A = np.array([ [ 4., -7., 4], [ 1., 1., -1.], [ 2., 5., -8.], ]) print('Aの行列式',np.linalg.det(A))#Aの行列式 print('Aの逆行列',np.linalg.inv(A)) #Aの行列式 -42.00000000000001 #Aの逆行列 [[ 0.07142857 0.85714286 -0.07142857] # [-0.14285714 0.95238095 -0.19047619] # [-0.07142857 0.80952381 -0.26190476]] ```

方程式の解を求める

```php # 解を求める A = np.array([ [ 4., -7., 4], [ 1., 1., -1.], [ 2., 5., -8.], ]) b = np.array([1., 6., 3.]).reshape(-1,1) np.dot(np.linalg.inv(A),b) #array([[5.], # [5.], # [4.]]) ```

ランク

```php #ランク A = np.array([ [ 2., 1., -1], [ 1., -1., 3.], [ -1., 5., 2.], ]) np.linalg.matrix_rank(A) #3 ```

行列の演算

```php # 行列の演算 A = np.array([ [ 4., -7., 4], [ 1., 1., -1.], [ 2., 5., -8.], ]) B = np.array([ [ 1., 2., -5.], [ 2., 3., -7.], [ 4., -1., 7.], ]) k=10 print(A+B) print(A-B) print(k*A) print((1/k)*A) #[[ 5. -5. -1.] # [ 3. 4. -8.] # [ 6. 4. -1.]] #[[ 3. -9. 9.] # [ -1. -2. 6.] # [ -2. 6. -15.]] #[[ 40. -70. 40.] # [ 10. 10. -10.] # [ 20. 50. -80.]] #[[ 0.4 -0.7 0.4] # [ 0.1 0.1 -0.1] # [ 0.2 0.5 -0.8]] ```

行列とベクトルの積

```php # 行列とベクトルの積 A = np.array([ [ 4., -7., 4], [ 1., 1., -1.], [ 2., 5., -8.], ]) B = np.array([ [ 1., 2., -5.], [ 2., 3., -7.], ]) x = np.array([1., 2., 3.]).reshape(-1,1) print(np.dot(A,x)) print(np.dot(B,x)) #[[ 2.],[ 0.],[-12.]] #[[-10.],[-13.]] ```

行列と行列の積

```php # 行列と行列の積 A = np.array([ [ 2., 1.], [ 1., 3.], [ 1., -1.], ]) B = np.array([ [ 1., -1., 2.], [ 1., 2., 3.], ]) print(np.dot(A,B)) print(np.dot(B,A)) #[[ 3. 0. 7.] # [ 4. 5. 11.] # [ 0. -3. -1.]] #[[ 3. -4.] # [ 7. 4.]] ```

線形写像

```php #線形写像 A = np.array([ [ 1., 2., -3.], [ 2., -1., 1.], [ -1., 3., -2.], ]) x = np.array([4., 2., 3.]).reshape(-1,1) print(A) print(np.dot(A,x)) #[[ 1. 2. -3.] # [ 2. -1. 1.] # [-1. 3. -2.]] #[[-1.],[ 9.],[-4.]]) ```

合成写像

```php # 合成写像 A = np.array([ [ 1., 2.], [ 3., -1.], [ 4., 5.], ])

B = np.array([
[ -2., 2., -1.,],
[ 3., 1., 2.,],
])
print(np.dot(B,A))
print(np.dot(A,B))
#[[ 0. -11.],[ 14. 15.]]
#[[ 4. 4. 3.],[-9. 5. -5.],[ 7. 13. 6.]]

<h1>行列の連結</h1>
```php
# 行列の連結
A = np.array([
    [ 1., 2.],
    [ 3., -4.],
])
x1 = np.array([2., 3.]).reshape(-1,1)
x2 = np.array([1., 1.]).reshape(-1,1)
X=np.concatenate([x1, x2], 1)
X
#array([[2., 1.],
#       [3., 1.]])

github

https://github.com/miyagawa-toshiki/Basics-of-Linear-Algebra/