電磁場解析で使いそうな概念（1） ～ベクトル解析関係～

内積と外積

単位ベクトルの内積・外積

3次元空間の右手系の直交座標系において、$x,y,z$を各座標の成分、$\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$を$x,y,z$座標に対応した単位ベクトルとする。これらの単位ベクトル同士で内積を取ると、次式が成り立つ。

\begin{align}
  \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k} = 1~~~  （方向は同じ）
  \\
  \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j} = \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k} = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{i} = 0~~~  （方向は直交）
\end{align}

また、単位ベクトル同士で外積を取ると、次式が成り立つ。

\begin{align}
  \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{i} = 0,~~~~~~~~  \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{j} &= 0,~~~~~~~  \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{k} = 0
  \\
  \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k},~~~~~~~  \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k} &= \boldsymbol{i},~~~~~~~  \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j}
  \\
  \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{i} = -\boldsymbol{k},~~~~~  \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{j} &= -\boldsymbol{i},~~~~~  \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{k} = -\boldsymbol{j}
\end{align}

一般のベクトルの内積・外積

一般のベクトル$\boldsymbol{A}$,$\boldsymbol{B}$で考えると、内積は次式で計算できる。

\begin{align}
  \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}
    &=  AB \cos \theta
  \\
    &=  A_x B_x +A_y B_y +A_z B_z
\end{align}

また、外積は次式で計算できる。ただし、$\boldsymbol{a}_n$は$\boldsymbol{A}$,$\boldsymbol{B}$が作る平面に垂直な単位法線ベクトルである。

\begin{align}
  \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}
    &=  (AB \sin \theta)\boldsymbol{a}_n
  \\
    &=  (A_y B_z -A_z B_y) \boldsymbol{i} +(A_z B_x -A_x B_z) \boldsymbol{j} +(A_x B_y -A_y B_x) \boldsymbol{k}
  \\
    &=  \begin{vmatrix}
            \boldsymbol{i}&  \boldsymbol{j}&  \boldsymbol{k}\\
            A_x&  A_y&  A_z\\
            B_x&  B_y&  B_z
        \end{vmatrix}
\end{align}

場の微分

ナブラ演算子

3次元空間の右手系の直交座標系において，$x$,$y$,$z$を各座標の成分，$\boldsymbol{i}$,$\boldsymbol{j}$,$\boldsymbol{k}$を各座標方向の単位ベクトルとする．

ベクトル演算子であるナブラ$\nabla$を以下のように定義する．

\begin{align}
  \nabla  &=  
  \begin{pmatrix}
    \frac{\partial}{\partial x}&
    \frac{\partial}{\partial y}&
    \frac{\partial}{\partial z}
  \end{pmatrix}
  \\
  &=  
   \frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}
  +\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}
  +\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}
\end{align}

勾配（grad）

スカラー場$f(\boldsymbol{r})$の勾配（gradient）は，次のように$\nabla$と$f$との積で表せる．演算結果はベクトル関数になる．

\begin{align}
  \nabla f(\boldsymbol{r})  &=  
  \begin{pmatrix}
    \frac{\partial}{\partial x}&
    \frac{\partial}{\partial y}&
    \frac{\partial}{\partial z}
  \end{pmatrix}
  f(\boldsymbol{r})
  \\
  &=  
   \frac{\partial f(\boldsymbol{r})}{\partial x}\boldsymbol{i}
  +\frac{\partial f(\boldsymbol{r})}{\partial y}\boldsymbol{j}
  +\frac{\partial f(\boldsymbol{r})}{\partial z}\boldsymbol{k}
  \\
  &=  \text{grad} f(\boldsymbol{r})
\end{align}

勾配$\nabla f(\boldsymbol{r})$は，スカラー関数$f$に対する，$x,y,z$方向の傾きを足した量になっている．

発散（div）

ベクトル場$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$の発散（divergence）は，次のように$\nabla$と$\boldsymbol{A}$との内積で表せる．演算結果はスカラー関数になる．

\begin{align}
  \nabla \cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})
    &=  \begin{pmatrix}
            \frac{\partial}{\partial x}&
            \frac{\partial}{\partial y}&
            \frac{\partial}{\partial z}
        \end{pmatrix}
        \begin{pmatrix}
            A_x(\boldsymbol{r})\\  A_y(\boldsymbol{r})\\  A_z(\boldsymbol{r})
        \end{pmatrix}  \nonumber
  \\
    &=  \frac{\partial A_x(\boldsymbol{r})}{\partial x}
       +\frac{\partial A_y(\boldsymbol{r})}{\partial y}
       +\frac{\partial A_z(\boldsymbol{r})}{\partial z}  \nonumber
  \\
    &=  \mathrm{div} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})
\end{align}

回転（rot）

ベクトル場$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$の回転（rotation）は，次のように$\nabla$と$\boldsymbol{A}$との外積で表せる．演算結果はベクトル関数になる．

\begin{align}
  \nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})
   &=  \begin{pmatrix}
         \frac{\partial}{\partial x} \\
         \frac{\partial}{\partial y} \\
         \frac{\partial}{\partial z}
       \end{pmatrix} \times
       \begin{pmatrix}
         A_x(\boldsymbol{r})\\  A_y(\boldsymbol{r})\\  A_z(\boldsymbol{r})
       \end{pmatrix}
\\
  &=
  \begin{vmatrix}
    \boldsymbol{i}&  \boldsymbol{j}&  \boldsymbol{k}\\
    \frac{\partial}{\partial x}&  \frac{\partial}{\partial y}&  \frac{\partial}{\partial z}\\
    A_x(\boldsymbol{r})&  A_y(\boldsymbol{r})&  A_z(\boldsymbol{r})
  \end{vmatrix}
  \\
   &=  \left( \frac{\partial A_z(\boldsymbol{r})}{\partial y} -\frac{\partial A_y(\boldsymbol{r})}{\partial z} \right) \boldsymbol{i}
      +\left( \frac{\partial A_x(\boldsymbol{r})}{\partial z} -\frac{\partial A_z(\boldsymbol{r})}{\partial x} \right) \boldsymbol{j}
      +\left( \frac{\partial A_y(\boldsymbol{r})}{\partial x} -\frac{\partial A_x(\boldsymbol{r})}{\partial y} \right) \boldsymbol{k}
  \\
   &=  \mathrm{rot} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})
\end{align}

ラプラス演算子

ラプラス演算子$\nabla^2$は以下のように定義される．

\begin{align}
  \nabla^2  =  \nabla \cdot \nabla
    =  \begin{pmatrix}
         \frac{\partial}{\partial x}&
         \frac{\partial}{\partial y}&
         \frac{\partial}{\partial z}
       \end{pmatrix}
       \begin{pmatrix}
         \frac{\partial}{\partial x}\\
         \frac{\partial}{\partial y}\\
         \frac{\partial}{\partial z}
       \end{pmatrix}
    =  \frac{\partial^2}{\partial x^2}
      +\frac{\partial^2}{\partial y^2}
      +\frac{\partial^2}{\partial z^2}
\end{align}

スカラー場$f$およびベクトル場$\boldsymbol{A}$に対する演算は，次のようになる．

\begin{align}
  &\nabla^2 f(\boldsymbol{r})
    =  \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}
             +\frac{\partial^2}{\partial y^2}
             +\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)  f(\boldsymbol{r})
    =  \frac{\partial^2 f(\boldsymbol{r})}{\partial x^2}
      +\frac{\partial^2 f(\boldsymbol{r})}{\partial y^2}
      +\frac{\partial^2 f(\boldsymbol{r})}{\partial z^2}
  \\
  &\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})
    =  \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}
             +\frac{\partial^2}{\partial y^2}
             +\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)
       \begin{pmatrix}
         A_x(\boldsymbol{r})\\  A_y(\boldsymbol{r})\\  A_z(\boldsymbol{r})
       \end{pmatrix}
    =  \begin{pmatrix}
         \frac{\partial^2 A_x(\boldsymbol{r})}{\partial x^2}
        +\frac{\partial^2 A_x(\boldsymbol{r})}{\partial y^2}
        +\frac{\partial^2 A_x(\boldsymbol{r})}{\partial z^2}\\
         \frac{\partial^2 A_y(\boldsymbol{r})}{\partial x^2}
        +\frac{\partial^2 A_y(\boldsymbol{r})}{\partial y^2}
        +\frac{\partial^2 A_y(\boldsymbol{r})}{\partial z^2}\\
         \frac{\partial^2 A_z(\boldsymbol{r})}{\partial x^2}
        +\frac{\partial^2 A_z(\boldsymbol{r})}{\partial y^2}
        +\frac{\partial^2 A_z(\boldsymbol{r})}{\partial z^2}\\
       \end{pmatrix}
\end{align}

積分公式

Gaussの発散定理

任意の閉領域Vと，なめらかな閉境界Sにおいて，
$\boldsymbol{n}$をS上の外向き単位法線ベクトルとすると，次式が成り立つ．

\begin{align}
  \iiint_\text{V} \nabla \cdot \boldsymbol{A} d\text{V}  =  \oint_\text{S} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} d\text{S}
\end{align}

この式を，Gaussの発散定理という．

Stokesの定理

任意のなめらかな開曲面Sと，その境界の閉曲線Cにおいて，
$\boldsymbol{n}$をS上の単位法線ベクトルとすると，次式が成り立つ．

\begin{align}
  \iint_\text{S} (\nabla \times \boldsymbol{A}) \cdot \boldsymbol{n} d\text{S}  =  \oint_\text{C} \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{l}
\end{align}

この式を，Stokesの定理という．

Greenの定理

$f$,$g$をスカラー関数とすると，
ナブラの分配法則$\nabla(fg) = g\nabla f +f\nabla g$より，次式が成り立つ．

\begin{align}
  \iiint_\text{V} \nabla \cdot [\nabla f(\boldsymbol{r}) g(\boldsymbol{r})] d\text{V}
    =  \iiint_\text{V} [\nabla^2 f(\boldsymbol{r})] g(\boldsymbol{r}) d\text{V}
       +\iiint_\text{V} \nabla f(\boldsymbol{r}) \cdot \nabla g(\boldsymbol{r}) d\text{V}  \nonumber
\end{align}

この左辺にGaussの発散定理を適用すると，

\begin{align}
  \iint_\text{S} [\nabla f(\boldsymbol{r}) g(\boldsymbol{r})] \cdot \boldsymbol{n} d\text{S}
    =  \iiint_\text{V} [\nabla^2 f(\boldsymbol{r})] g(\boldsymbol{r}) d\text{V}
       +\iiint_\text{V} \nabla f(\boldsymbol{r}) \cdot \nabla g(\boldsymbol{r}) d\text{V}
\end{align}

となる．この式を，Greenの定理という．

その他の公式

\begin{align}
  \nabla \times (\nabla f)  =  \boldsymbol{0}
\end{align}

\begin{align}
  \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A})  =  0
\end{align}

\begin{align}
  \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A})  =  \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) -\nabla^2 \boldsymbol{A}
\end{align}

ほかにもいろんな公式があるよ！