微分形のMaxwell方程式

　古典電磁気学では物理量として，電場$\boldsymbol{E}$[V/m]，磁場$\boldsymbol{H}$[A/m]，電束密度$\boldsymbol{D}$[C/m$^2$]，磁束密度$\boldsymbol{B}$[Wb/m$^2$]，電荷密度$\rho$[C/m$^3$]，電流密度$\boldsymbol{J}$[A/m$^2$]などが使われる．等方性媒質を仮定して，微分形のMaxwell方程式を以下のように書く．

\begin{align}
  &\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)  =  \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r})}   \tag{1}
  \\
  &\nabla \cdot \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)  =  0   \tag{2}
  \\
  &\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)  =  -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}   \tag{3}
  \\
  &\nabla \times \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)  =  \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}   \tag{4}
\end{align}

　ここで，$\boldsymbol{r}$[m]は位置ベクトル，$t$[s]は時間，$\epsilon_0$[F/m]は真空の誘電率，$\epsilon(\boldsymbol{r})$は媒質の比誘電率，$\mu_0$[H/m]は真空の透磁率，$\mu(\boldsymbol{r})$は媒質の比透磁率，$\sigma_0$[S/m]は真空の導電率，$\sigma(\boldsymbol{r})$は媒質の比導電率である．また，$\epsilon(\boldsymbol{r}),\mu(\boldsymbol{r}),\sigma(\boldsymbol{r})$は，区分的に連続な定数関数である．
　順に見ると，まず1番目の式は微分形の電場に対するGaussの法則であり，「任意の場所と時刻において，電場の発散は電荷密度に比例する」ことを述べている．このため，静電場の電気力線は正電荷から外側に広がり，負電荷に収束する．
　次に，2番目の式は微分形の磁場に対するGaussの法則であり，「任意の場所と時刻において，磁場の発散はゼロである」ことを述べている．これは，宇宙に孤立した磁荷が存在しないことを意味し，そのために磁力線は発散も収束もしない．
　続いて，3番目の式は微分形のFaradayの法則であり，「任意の場所と時刻において，電場の回転は磁場の時間変化率のマイナスの値に比例する」ことを述べている．このため，変動する磁場は回転する電場を生む．
　最後に，4番目の式は微分形のAmpereの法則であり，「任意の場所と時刻において，磁場の回転は電流密度と電場の時間変化率の和に比例する」ことを述べている．これは，回転する磁場が電流と変動する電場の両方から生まれることを意味する．

　また，媒質は等方的であり，材料の構成方程式は以下のようになるとする．

\begin{align}
  &\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r},t)  =  \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)
  \\
  &\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)  =  \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)
  \\
  &\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r},t)  =  \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)
\end{align}

積分形のMaxwell方程式

積分系のMaxwell方程式についても記述しておく．まず，式（1），（2）を閉領域Vに渡って積分し，Gaussの発散定理$\iiint_\text{V} \nabla \cdot \boldsymbol{A} d\text{V} = \oint_\text{S} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} d\text{S}$を適用すると，次式を得る．

\begin{align}
  \oint_\text{S}  \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \cdot \boldsymbol{n}  d\text{S}  &=  \iiint_V  \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r})}  d\text{V}   \tag{5}
  \\
  \oint_\text{S} \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) \cdot \boldsymbol{n}  d\text{S}  &=  0
\end{align}   \tag{6}

また，式（3），（4）を閉面Sに渡って外向き単位ベクトル$\boldsymbol{n}$と内積を取りつつ積分し，Stokesの定理$\iint_\text{S} (\nabla \times \boldsymbol{A}) \cdot \boldsymbol{n} d\text{S} = \oint_\text{C} \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{l}$を適用すると，次式を得る．

\begin{align}
  \oint_\text{C}  \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \cdot  d\boldsymbol{l}
    &=  \iint_\text{S}  \left[ -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \right] \cdot \boldsymbol{n}  d\text{S}   \tag{7}
  \\
  \oint_\text{C}  \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) \cdot  d\boldsymbol{l}
    &=  \iint_\text{S}  \left[ \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \right] \cdot \boldsymbol{n}  d\text{S}   \tag{8}
\end{align}

異なる媒質間における境界条件

まず，媒質1から媒質2への境界をまたがるように閉領域Vをとり，境界に対する法線ベクトルを$\boldsymbol{n}$，接線ベクトルを$\boldsymbol{t}$をする．面に垂直方向の厚みが無限小とすると，閉領域Vの体積はゼロとみなせる．この時，積分形の電場に対するGaussの法則（5）より，電荷がない場合，

\begin{align}
  \iint_\text{S} \boldsymbol{E}_1(\boldsymbol{r},t) \cdot \boldsymbol{n} dS  +\iint_\text{S}  \boldsymbol{E}_2(\boldsymbol{r},t) \cdot \boldsymbol{n} d\text{S}  =  0
\end{align}

\begin{align}
  \therefore  E_{1n}(\boldsymbol{r},t)  =  E_{2n}(\boldsymbol{r},t)
\end{align}

同様に，積分形の磁場に対するGaussの法則（6）より，

\begin{align}
  \iint_\text{S} \boldsymbol{H}_1(\boldsymbol{r},t) \cdot \boldsymbol{n} d\text{S}  +\iint_\text{S}  \boldsymbol{H}_2(\boldsymbol{r},t) \cdot \boldsymbol{n} d\text{S}  =  0
\end{align}

\begin{align}
  \therefore  H_{1n}(\boldsymbol{r},t)  =  H_{2n}(\boldsymbol{r},t)
\end{align}

また，媒質1から媒質2への境界をまたがるように閉曲線Cをとる．ここで，閉曲線において，AD間とBC間を無限小とすると，線分ADとBCの長さ，および面ABCDの面積Sはゼロとみなせる．この時，積分形のFaradayの法則（7）より，

\begin{align}
  \int_\text{AB} \boldsymbol{E}_1(\boldsymbol{r},t) \cdot d\boldsymbol{l}  +\int_\text{CD} \boldsymbol{E}_2(\boldsymbol{r},t) \cdot d\boldsymbol{l}  =  0
\end{align}

\begin{align}
  \therefore  E_{1t}(\boldsymbol{r},t)  =  E_{2t}(\boldsymbol{r},t)
\end{align}

同様に，積分形のAmpereの法則（8）より，電流がない場合は，

\begin{align}
  \int_\text{AB} \boldsymbol{H}_1(\boldsymbol{r},t) \cdot d\boldsymbol{l}  &+\int_\text{CD} \boldsymbol{H}_2(\boldsymbol{r},t) \cdot d\boldsymbol{l}  =  0
\end{align}

\begin{align}
  \therefore  H_{1t}(\boldsymbol{r},t)  =  H_{2t}(\boldsymbol{r},t)
\end{align}

参考

浜松芳夫, ベクトル解析の基礎から学ぶ電磁気学, 森北出版, (2015).
平川浩正, 電磁気学新物理学シリーズ2, 培風館, (1986).