電場におけるベクトル波動方程式

　Maxwell方程式を適切に組み合わせると，電場と磁場それぞれに対して，波動方程式を導くことができる．電場に関しては，微分形のFaradayの法則の式$\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}$の両辺で回転をとると，

\begin{align}
  \nabla \times  \left[ \nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \right]
    &=  \nabla \times  \left[ -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \right]  \nonumber
  \\
    &=  -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial  \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) \right]}{\partial t}
\end{align}

　左辺にベクトル恒等式$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) -\nabla^2 \boldsymbol{A}$を適用すると，

\begin{align}
  \nabla [\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)] -\nabla^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)
    =  -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial  \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) \right]}{\partial t}
\end{align}

　左辺第1項について，微分形の電場に対するGaussの法則の式$\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r})}$を適用すると，

\begin{align}
  \nabla \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r})} -\nabla^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)
    =  -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial  \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) \right]}{\partial t}
\end{align}

　右辺に対して，微分形のAmpereの法則の式$\nabla \times \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) = \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}$を使うと，

\begin{align}
  \nabla \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r})} -\nabla^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)
    =  -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial  \left[ \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)
         +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \right]}  {\partial t}
\end{align}

　ここで，電荷が無い系を想定して電荷密度を$\rho(\boldsymbol{r})=0$とし，電流も流れないとして比導電率を$\sigma(\boldsymbol{r})=0$とおけば，

\begin{align}
  -\nabla^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)
    =  -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r})  \frac{\partial \left[  \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \right]}  {\partial t}
\end{align}

\begin{align}
  \nabla^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)
    =  \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \mu_0 \mu(\boldsymbol{r})  \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t^2}
  \tag{1}
\end{align}

　この式（1）を、電場におけるベクトル波動方程式という。

磁場におけるベクトル波動方程式

　磁場に関しては，微分形のAmpereの法則の式$\nabla \times \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) = \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}$の両辺で回転をとると，

\begin{align}
  \nabla \times  \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) \right]
    &=  \nabla \times  \left[ \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \right]  \nonumber
  \\
    &=  \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) [\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)] +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial [\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)]}{\partial t}
\end{align}

　左辺にベクトル恒等式$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) -\nabla^2 \boldsymbol{A}$を適用すると，

\begin{align}
  \nabla [\nabla \cdot \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)] -\nabla^2 \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)
    =  \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) [\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)] +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial [\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)]}{\partial t}
\end{align}

　左辺第1項について，微分形の磁場に対するGaussの法則の式$\nabla \cdot \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) = 0$を適用すると，

\begin{align}
  -\nabla^2 \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)
    =  \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r}) [\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)] +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial [\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)]}{\partial t}
\end{align}

　右辺に対して，微分形のFaradayの法則の式$\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}$を使うと，

\begin{align}
  -\nabla^2 \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)
    =  \sigma_0 \sigma(\boldsymbol{r})  \left[ -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \right]
      +\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial [-\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}]}{\partial t}
\end{align}

　ここで，比導電率$\sigma(\boldsymbol{r})=0$とおけば，

\begin{align}
  -\nabla^2 \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)
    =  \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial [-\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}]}{\partial t}
\end{align}

\begin{align}
  \nabla^2 \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)
    =  \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \mu_0 \mu(\boldsymbol{r})  \frac{\partial^2 \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t^2}
  \tag{2}
\end{align}

　この式（2）を、磁場におけるベクトル波動方程式という。

光速の導出

　多次元空間の波動関数$y$に対する，古典的な波動方程式は，以下のように書ける．

\begin{align}
  \nabla^2 y(\boldsymbol{r},t)  =  \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y(\boldsymbol{r},t)}{\partial t^2}
\end{align}

　ここで，$v$は波の位相速度である．一方，式（1）および（2）を見ると，それぞれ波動方程式の形をしていることが分かる．これより，方程式同士を比較すれば，$\frac{1}{v^2} = \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \mu_0 \mu(\boldsymbol{r})$となる．つまり，光速を$c$とすると，次式が成り立つ．

\begin{align}
  c  =  v  =  \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \mu_0 \mu(\boldsymbol{r})}}
\end{align}