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『クラウド量子計算入門』の演習を行う (3 アダマールゲートの量子実験)

Last updated at 2017-01-11Posted at 2017-01-11

はじめに

こちらの本を読みつつ、演習・実験を試してみます。

『クラウド量子計算入門―IBMの量子シミュレーションと量子コンピュータ』

「『クラウド量子計算入門』の演習を行う (2 パウリゲートの量子実験) - Qiita」の続き。

3 アダマールゲートの量子実験

3.1 アダマール変換とは

3.1.2 アダマール変換

演習 3-1

量子シミュレータで 4 量子ビットを使って、$ |0\rangle $、$ H|0\rangle $、$ |1\rangle $、$ H|1\rangle $ を計算する量子回路を作成し、ブロッホ測定の 3 次元表示で調べてみよ。

ブロッホ測定

量子回路

ブロッホ球

Shots	Qubit	X	Z
1	Q0	0	1
1	Q1	1	0
1	Q2	0	-1
1	Q3	-1	0

3.1.3 アダマール変換による均等な重ね合わせ状態の生成

演習 3-2

量子シミュレータで　5 量子ビット用いて、均等な重ね合わせ状態を生成して、各基準基底での確率が理論と一致しているか確かめよ。

行列計算

|x\rangle
=
\otimes_{i=1}^{5} \biggl( \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} \biggl)
=
\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \biggl)^5 \bigr( |0\rangle+|1\rangle+,...,+|2^5-1\rangle \bigr)
=
\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \biggl)^5 \, \sum_{n=0}^{2^5-1} |n\rangle

これで大丈夫だと思うのだけど、まだよくわからない。

確率振幅は 1/5、観測確率は 1/32 = 0.03125 となる。

標準基底測定

量子回路

実行結果

Shots	Value	Probability	Qubits Measured
1	0	0.03125	0,1,2,3,4
1	1	0.03125	0,1,2,3,4
1	10	0.03125	0,1,2,3,4
1	11	0.03125	0,1,2,3,4
1	100	0.03125	0,1,2,3,4
1	101	0.03125	0,1,2,3,4
1	110	0.03125	0,1,2,3,4
1	111	0.03125	0,1,2,3,4
1	1000	0.03125	0,1,2,3,4
1	1001	0.03125	0,1,2,3,4
1	1010	0.03125	0,1,2,3,4
1	1011	0.03125	0,1,2,3,4
1	1100	0.03125	0,1,2,3,4
1	1101	0.03125	0,1,2,3,4
1	1110	0.03125	0,1,2,3,4
1	1111	0.03125	0,1,2,3,4
1	10000	0.03125	0,1,2,3,4
1	10001	0.03125	0,1,2,3,4
1	10010	0.03125	0,1,2,3,4
1	10011	0.03125	0,1,2,3,4
1	10100	0.03125	0,1,2,3,4
1	10101	0.03125	0,1,2,3,4
1	10110	0.03125	0,1,2,3,4
1	10111	0.03125	0,1,2,3,4
1	11000	0.03125	0,1,2,3,4
1	11001	0.03125	0,1,2,3,4
1	11010	0.03125	0,1,2,3,4
1	11011	0.03125	0,1,2,3,4
1	11100	0.03125	0,1,2,3,4
1	11101	0.03125	0,1,2,3,4
1	11110	0.03125	0,1,2,3,4
1	11111	0.03125	0,1,2,3,4

3.2 アダマール演算による量子シミュレータ実験

3.2.2 アダマール演算によるパウリ演算の変換

演習 3-3

3 量子ビットの量子シミュレータを使って、$ H|1\rangle $、$ ZH|1\rangle $、$ HZH|1\rangle $ を確かめる量子回路を作成し、行列計算と一致しているか確かめよ。測定はブロッホ測定の 3 次元表示で確かめよ。

行列計算

ZH|1\rangle
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}

$ HZH|1\rangle $ は演習 3-4 にもあるのでそちらで。

ブロッホ測定

量子回路

ブロッホ球

Shots	Qubit	X	Z
1	Q0	-1	0
1	Q1	-1	0
1	Q2	0	1

演習 3-4

3 量子ビットの量子シミュレータを使って、$ |1\rangle $、$ HH|1\rangle $、$ HXH|1\rangle $、$ HYH|1\rangle $、$ HZH|1\rangle $ を確かめる量子回路を作成し、行列計算と一致しているか確かめよ。測定はブロッホ測定の 3 次元表示で確かめよ。

これは 5 量子ビットの間違いかな？

行列計算

HH|1\rangle
=
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
|1\rangle

HXH|1\rangle
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}
=
- \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
-|1\rangle

HYH|1\rangle
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} i \\ i \end{bmatrix}
=
i\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
i|0\rangle

HZH|1\rangle
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
|0\rangle