五月祭の記事を書くついでに銀河の回転曲線のプロットを作ったので。
指数円盤モデルに従う銀河の回転速度
銀河円盤の表面密度が距離に対して指数減衰するようなモデルを考える時、すっごい頑張って計算すると、銀河中心からの距離$R$での回転速度$v_c^2$が
v_c^2(R) = 2G\,\dfrac{M_d}{R_d} \,y^2 \,\Big\{I_0(y)K_0(y)-I_1(y)K_1(y)\Big\}
のように求まる。ただし$M_d$は銀河円盤の質量、$R_d$は表面密度の減衰スケール、$I_n,K_n$は変形ベッセル関数で、$y=\frac{R}{R_d}$であることに注意。（この導出をしっかり書いた日本語の記事が見当たらないので、いつか書きたいななどと思いつつ。）
これをプロットしてやると次のようになる。
ただし上のプロットにあたっては https://arxiv.org/pdf/1309.0809 を参考に
M_d \approx 4.6\times 10^{10} \; M_\text{sun}\quad,\quad R_d\approx 2.15\; \text{kpc}
と決めた。天の川銀河ならこんくらいやろ、ということらしい。
これを見ると、ちゃんと銀河遠方に向かって速度が減衰していて、実際の観測（速度が減衰しない）を説明するためにダークマターが必要な理由がよくわかる。あと、銀河の回転速度がmax $180$km/s くらいということがわかる。とても早い！