初めに
既に見たように，陽的な$\text{RK}(s, p)$の中で，$p \le 4$のものに対しては，$s = p$が達成できる．一方，$s \ge p$と刻むこともできて，このとき，絶対安定領域を押し広げることができる．
特に，議論の的をmulti-stage methodに絞り，multi-step methodには触れない．さらに，高々$p \le 4$のものに限る．Izzo&Jackiewicz2022がcomprehensiveで良い．
MAIN
名前
Gottlieb+2001によると，先駆的なものはShu1988, Shu&Osher1988であり，当時はTVD（Total-Variation-Diminishing）な時間離散化スキームと呼ばれていたようである．現代ではSSPな時間離散化法とかいう呼び方が浸透しているようである．所謂，TVD条件のことをStrong Stability条件と呼ぶこともあるらしい（例えば，Durran2010）．
安定性
線形な問題
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t} u \left( t \right)
= A \left( u \right)
= M u
\end{align}
に対する解の増幅率は，
\begin{align}
G
= \exp \left( \tau M \right)
= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\tau M)^k}{k!}
\end{align}
であり，解が安定である（i.e., 発散しない）ためには，$| G | \le 1$．一方，$\text{RK}(s, p)$の中で，$s=p=K$なるもの（即ち，$K \le 4$）の増幅率は，
\begin{align}
G_{\text{RK}(s,p)}
= \sum_{k=0}^{K} \frac{(\tau M)^k}{k!}
\end{align}
である．$z = \tau M$とすると，$\text{RK}(s,p)$が安定であるためには，
\begin{align}
z \in \mathbb{S}_{\text{RK}(s,p)}
= \lbrace
z \in \mathbb{C}
\mid
\lvert G_{\text{RK($s, p$)}} \left( z \right) \rvert \le 1
\rbrace
\end{align}
| $p=2$ | $p=3$ | $p=4$ |
|---|---|---|
 |
 |
 |
一方，非線形な問題（や硬い問題も？）
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t} u \left( t \right)
= B \left( u \right)
\end{align}
に対しては，安定性領域を押し広げておきたい場合がある．即ち，適当な$\text{SSP-RK}(s, p)$があって，その増幅率$G_{\text{SSP-RK}(s,p)}$と安定性領域$\mathbb{S}_{\text{SSP-RK}(s,p)}$が適当に定義できて，
\begin{align}
| \mathbb{S}_{\text{SSP-RK}(s,p)} |
\gt
| \mathbb{S}_{\text{RK}(p,p)} |
\quad \text{for some fixed } p
\end{align}
を狙う．このとき，往々にして$s \ge p$．$s = p$でこれを達成する$\text{SSP-RK}$が存在するのか気になるが，未だ知らない．
具体的な方法
Durran2010やGottlieb+2018より．Izzo&Jackiewicz2022も詳しい．Izzo&Jackiewicz2022に示されているButcher tableauに則る．
2次の方法
SSP-RK(2, 2)
Shu&Osher1988．
\begin{align}
f_1
&= B \left( u^{n} \right)
\\
f_2
&= B \left( u^{n} + \tau f_1 \right)
\\
u^{n+1}
&= u^{n}
+ \tau \left( \frac{1}{2} f_1 + \frac{1}{2} f_2 \right)
\end{align}
ざっと計算したところ，素朴な$\text{RK}(2, 2)$と同じだけの安定性領域だろうと思う．
SSP-RK(3, 2)
\begin{align}
f_1
&= B \left( u^{n} \right)
\\
f_2
&= B \left( u^{n} + \tau \frac{1}{2} f_1 \right)
\\
f_3
&= B \left( u^{n} + \tau \left( \frac{1}{2} f_1 + \frac{1}{2} f_2 \right) \right)
\\
u^{n+1}
&= u^{n}
+ \tau \left( \frac{1}{3} f_1 + \frac{1}{3} f_2 + \frac{1}{3} f_3 \right)
\end{align}
ざっと計算したところ，$\text{RK}(2, 2)$より$z^3 / 12$だけ大きい．
3次の方法
SSP-RK(3, 3)
Shu&Osher1988．
\begin{align}
f_1
&= B \left( u^{n} \right)
\\
f_2
&= B \left( u^{n} + \tau f_1 \right)
\\
f_3
&= B \left( u^{n} + \tau \left( \frac{1}{4} f_1 + \frac{1}{4} f_2 \right) \right)
\\
u^{n+1}
&= u^{n}
+ \tau \left( \frac{1}{6} f_1 + \frac{1}{6} f_2 + \frac{2}{3} f_3 \right)
\end{align}
SSP-RK(4, 3)
Spiteri&Ruuth2002．
\begin{align}
f_1
&= B \left( u^{n} \right)
\\
f_2
&= B \left( u^{n} + \tau \frac{1}{2} f_1 \right)
\\
f_3
&= B \left( u^{n} + \tau \left( \frac{1}{2} f_1 + \frac{1}{2} f_2 \right) \right)
\\
f_4
&= B \left( u^{n} + \tau \left( \frac{1}{6} f_1 + \frac{1}{6} f_2 + \frac{1}{6} f_3 \right) \right)
\\
u^{n+1}
&= u^{n}
+ \tau \left( \frac{1}{6} f_1 + \frac{1}{6} f_2 + \frac{1}{6} f_3 + \frac{1}{2} f_4 \right)
\end{align}
$\text{RK}(3, 3)$より$z^4 / 48$だけ大きい．
4次の方法
SSP-RK(4, 4)
存在しない（Gottlieb&Shu1998, Ruuth&Spiteri2002）．
SSP-RK(5, 4)
Spiteri&Ruuth2002．しかし，写し間違いが怖いのでやめておく．
SSP-RK(10, 4)
Ketcheson2008．Gottlieb+2018が具体的に書き下している．Izzo&Jackiewicz2022がButcher tableauを与えている．面倒なのでここには記さないが，計算すると，
\begin{align}
G_{\text{SSP-RK}(10,4)}
&= \frac{1}{25} \left( 1 + 18 y + 6 y^2 \right)
\\
y
&= \left( 1 + \frac{z}{6} \right)^5
\end{align}
であった．
絶対安定領域
| $p=2$ | $p=3$ | $p=4$ | $p=4$ |
|---|---|---|---|
 |
 |
 |
 |
$s \ge p$で段階的に拡大する．Izzo&Jackiewicz2022がcomprehensiveである．
終わりに
精度を高めることはできなくても，大胆な歩幅を取って歩くことができるのは魅力的である．非線形な問題では（硬さなども効いてきて？）小さい刻み幅を要求される場合も予想できる．実際，Kubatko+2014, Yeager+2021など．
なお，載せたものはほんの一部であり，沢山ある．
拾い上げ切れていない事項: Gottlieb+2001などを読めば分かるが，明らかに移流の解析のために用意された方法である．この文脈で，Courant数$C$が登場する．幾つかの$\text{SSP-RK}$は$C \le 1$を要求するが，幾つかは$C \le 2$まで許容する（これより大きいものもあるかもしれない）．安定性領域の拡大から直感的には認められるが，驚くべき事実である．また，SSP constantとかいう言葉も見かけた．今のところ，この2つの数字は同じものを指していると思っているが，少し自信が無い．周辺は整理し直す必要がある．