初めに
これの再訪である．
特に，空間スキームの収束性が興味の対象である．この意味で，時間が混じるLax-WendroffとQUICKESTは混乱を生みそうなので議論の対象から省く．
Methods
移流方程式
初期条件はGauss波とする．
\begin{align}
\partial_t \phi
+ a \partial_x \phi
&= 0 \\
\phi (x, t=0)
&= f (x)
= \exp \left( - \frac{(x - x')^2}{2 s^2} \right)
\end{align}
$a = 0.5, \ \Omega = (0, L), \ \mathcal{I} = (0, T), \ L = 1, \ T = 1$とする．
$x' = L/5, \ s = L/20$を選ぶ．
| 初期条件 | 解析解 |
|---|---|
 |
 |
滑らかなので，風上化をしなくても安定して解けるが，いま，それには興味が無い．
移流スキーム
既に述べたように，
- （所謂，原始的な）風上差分近似: 1次精度
- QUICK: 2次精度
- KK: 3次精度
であると考えている．QUICKについては，私の考えとLeaonard1979やVersteeg&Malalasekera1995の主張が食い違うことは明記しておく．だから，間違えているかもしれない．
時間進行スキーム
昔の実験では，Euler法をかなり細かく刻んだ．が，あまり美しくないし，時間方向の誤差を十分に排除できたか少し自信が無い．もう少しだけ高級な時間進行法を使って再度調べてみる．
簡単に，陽的な方法を採用する．
- Euler法: 1次精度
- Heun法: 2次精度
- Runge-Kutta法: 4次精度
Results
Sanity check
離散化パラメータ: $h = 1 \times 10^{-2}, \tau = 2 \times 10^{-3}$（空間，時間）．
| Euler | Heun | Runge-Kutta | |
|---|---|---|---|
| $\text{Animation}$ |  |
 |
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| $\text{Snapshot}$ |  |
 |
 |
この程度の細かさでは，QUICKの方が誤差が小さい．これは，昔の実験と一致する．
Convergence
$t=T$での誤差を測る．
実線+四角マーカー: 誤差の最大値，破線+丸マーカー: 誤差の平均値．
| Euler | Heun | RK4 | |
|---|---|---|---|
| $\tau = 1 \times 10^{-4}$ |  |
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| $\tau = 1 \times 10^{-5}$ |  |
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| $\tau = 1 \times 10^{-6}$ |  |
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Euler法で$\tau = 1 \times 10^{-4}$とした場合，空間解像度を細かくしてみると，QUICKとKKは山の裾が振動し始め，それが増幅していき，爆発した．
所々，かなり一致する結果が並んでいるが，貼り付ける結果は間違っていないはずである（何度も確認した）．数値誤差の影響だろう．
終わりに
素朴にEuler法で細かく刻んだときとそう変わらない結果であった．