はじめに
一般的な流体シミュレーションでは空間をグリッドに分割して流体を表現します．これを「格子法」と呼びます．
一方，流体を粒子で表現しようとするのが「粒子法」です．粒子法はSPH法とMPS法に大別されます．
粒子法にはいろんなメリットがあります（こちらのサイトで詳しく説明されています）．
このシリーズでは，MPS法の理論を体系的に解説することを目的とします．ターゲットは「流体力学の数値計算について大まかにご存じで，MPS法に興味を持ってる方」です．
MPS法の基礎理論（一部作成中）
・重み関数と粒子数密度
・勾配モデルと発散モデル
・ラプラシアンモデル
・計算アルゴリズムと圧力のポアソン方程式
・安定性条件
・自由表面境界条件
・壁面境界
・解像度可変型粒子法
高精度化手法（作成中）
高精度微分演算モデル
・CMPS法（運動量・角運動量保存型）
・HL（数学的一貫型）
・GC，LSMPS法（テイラー級数適合型）
・DS法（引張安定型）
高精度ポアソン方程式
・HS
・ECS
高精度境界条件
・SPP（自由表面境界条件）
・WPP（壁面境界条件）
#参考文献
・粒子法（越塚先生）
・粒子法入門
・粒子法（後藤先生）
数式の表記ルール
このシリーズで用いる数式の表記法について記しておきます．各記事では述べないつもりなので，気になったらこちらを参照ください．例としてスカラー $\phi$ の勾配モデルを用います．
math \langle\boldsymbol{\nabla}\phi\rangle_i=\frac{d}{n^0}\sum_{j\ne i}\frac{\phi_{ij}}{|\boldsymbol{r}_{ij}|^2}\boldsymbol{r}_{ij}w_{ij}
| 表記 | 意味 |
|---|---|
| $\langle\alpha\rangle$ | $\alpha$ を離散化した値 |
| $\alpha_i$ | 粒子 $i$ の位置の $\alpha$ |
| $\alpha_{ij}$ | 粒子 $i$ と粒子 $j$ の位置の $\alpha$ の差分 $\alpha_j-\alpha_i$ |
| $\alpha^0$ | $\alpha$ の基準値 |
| $\alpha^k$ | 第 $k$ ステップの $\alpha$ |
| $d$ | 空間の次元数 |
| $n$ | 粒子数密度 |
| $w$ | 重み関数 |
なお，このルールに従うと粒子 $i$ と粒子 $j$ の間の重み関数は $w(|\boldsymbol{r}_{ij}|)$ と表されますが，メンドウなので $w_{ij}$ と表すことにします．すなわち，添え字の $ij$ は「粒子 $i$ と粒子 $j$ の間の」を表すこともあります．