本日は
pythonで使えるグラフ描画ツール Bokeh の練習として行列演算の結果の可視化をしてみようと思います．
例えば， 2x2行列
R(\theta)=\begin{bmatrix}
\cos\theta& -\sin\theta\\
\sin\theta& \cos\theta
\end{bmatrix}
は２次元ベクトルに作用させると結果が $\theta$ だけ回転したベクトルを出力することがよく知られています．
これを実際に Bokeh をもちいて確認してみましょう．
実装例
rot.py
import numpy as np
from bokeh.plotting import figure, output_file, show
from bokeh.models import ColumnDataSource, Div
from bokeh.layouts import gridplot, column
def main():
xs = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10)
ys = xs
Xs, Ys = np.meshgrid(xs, ys)
Xs, Ys = Xs.flatten(), Ys.flatten()
theta = np.deg2rad(30)
mat = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
[np.sin(theta), np.cos(theta)]])
transXs, transYs = mat @ np.array([Xs, Ys])
output_file("lasso_selector.html")
TOOLS = "pan,lasso_select,save,reset"
source = ColumnDataSource(data=dict(Xs=Xs,
Ys=Ys,
transXs=transXs,
transYs=transYs))
f = figure(tools=TOOLS, title="target",
x_range=(-np.pi*np.sqrt(2)-1, np.pi*np.sqrt(2)+1),
y_range=(-np.pi*np.sqrt(2)-1, np.pi*np.sqrt(2)+1))
f.circle('Xs', 'Ys', source=source)
transf = figure(x_range=f.x_range,
y_range=f.y_range,
tools=TOOLS,
title="trans")
transf.circle('transXs', 'transYs', source=source)
grid = gridplot([[f, transf]])
show(column(Div(text="<h2>Transform before and after</h2>"),
grid))
if __name__ == '__main__':
main()
install
$ pip install bokeh
実行例
$ python rot.py
実行すると output_file で指定した lasso_selector.html が生成され， ブラウザでこれを閲覧することができます．
ここでは格子点領域が左回りに30度回転している様子がみられます． ただ，この場合では どの点がどの点に移動した かがわかりません．
そこで， TOOLS に lasso_select を追加しすることで縄で範囲を指定した部分の targetグラフ と transグラフ の点との対応を閲覧することができます． つまり，下の図のように可視化することができます．
縦に並んだ点列が30度傾いていますね．
応用
rank が１の行列たとえば，
A=\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix}
の像をみてみましょう．
rankが１なので像は一次元平面上にズベーっと並びます． そしてtransグラフの方で原点の点を囲んでみましょう． そうすると target グラフの方では $y+x=0$ を満たす直線上の点が浮かびあがるはずです．要するに $\ker A$ を可視化していることになります．
これから線形代数の次元定理
\operatorname{rank} A + \dim(\ker A) = 2
が成り立つのも確認できますね．