WordPress 多言語対応プラグインの mqTranslate が開発終了になってしまったので、代替としておすすめされている qTranslate X をインストールしたら、WP REST API が動かなくなってしまったのだけど、原因がわかったので書いておきます。
ふつうに WordPress をインストールして、WP REST API と qTranslate X をいれただけでは、問題おこらない。
Giving WordPress Its Own Directory « WordPress Codex
https://codex.wordpress.org/Giving_WordPress_Its_Own_Directory
↑みたく WordPress 関連ファイルを site root からサブディレクトリに移動させて、かつ、その移動先のフォルダ名が 2 文字の英字からなる名前（ぼくのばあい wp）だと、その 2 文字を qTranslate X が言語指定とみなして誤動作します。（正確にいうと、かつ qTranslate の "URL 変更モード" が "事前パスモード" のとき）
qTranslate X の該当コードここ
https://github.com/qTranslate-Team/qtranslate-x/blob/73613e5a144daa83ea8a55f38a5291d53e7b7890/qtranslate_core.php#L240
バグかというと、微妙なラインだけど、、、