確率の問題
1または２が出るまでサイコロを振る。振った回数が$N$になったら1つの封筒に$2^N$の数字を、1つの封筒に$2^{N-1}$の数字を書いて入れる。
なお、回数が$N$になる確率は、$\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{N-1}$である。
もし、無作為に封筒を１つ選び開封して数字は2であった場合、次のことが言える。回数が１の確率は$\frac{1}{3}$で、回数が2の確率は$\frac{2}{9}$であるから、もう1つの封筒の数字が1である確率は$\frac{3}{5}$で、数字が4である確率は$\frac{2}{5}$である。したがって、交換したときの期待値は2.2となり交換した方が数字が大きくなる。
上記のルールで用意した２つの未開封の封筒があり、無作為に１つの封筒を選んだ。このとき、以下について答えよ。
- 問1：未開封の場合、交換しても期待値は変わらないか？
- 問2：開封して数字を確認した場合、（その数字を前提として）交換すると期待値は増えるか？ただし、開封した数字は２以上とする
- 問3：未開封のまま中味について、数字$x$と呼ぶことにする。このとき、交換しても期待値は変わらないか？
- 問4：1つの数字を具体的に思い浮かべる。未開封のまま中味について、その数字と仮定する。このとき、交換すると期待値は増えるか？
解答
問１
答えはYes。
２つの数字を$2x$と$x$とする。無作為に選んでいるので各々を選ぶ確率は$\frac{1}{2}$である。したがって、交換した場合の差分の期待値は、$\frac{x}{2}-\frac{x}{2} = 0$である。
問２
答えはYes。
開封して確認した数字を$x$とする。
もう１つの数字が$\frac{x}{2}$か$2x$かの確率の比は、$3:2$であり、交換した場合の差分の期待値は、$\frac{x}{10}$である。
問3
答えはYes。
名前をつけただけでは、その変数が取りうる可能性をすべて考慮する必要がある。
説明については、下記を参照のこと。
問4
答えはYes。
具体的な数字を仮定すると条件つき確率になり、問2と同様に1つの数字として計算できる。
参考
以上