一般化固有値問題 part1
固有値＆固有ベクトル
正方行列$A$, ベクトル$\vec{v}$，スカラー$λ$として，以下の(1)式が成り立つと考えた時,
A\vec{v} = λ\vec{v}・・・(1)
$\vec{v}$は$A$の固有ベクトル，$λ$は$A$の固有値といえる．
例：
\begin{pmatrix}
3 & 7 \4 & 6
\end{pmatrix}
×
\begin{pmatrix}
1 \1
\end{pmatrix}
=10×
\begin{pmatrix}
1 \1
\end{pmatrix}
***
### 固有値の求め方
正方行列$A$が与えられた時，固有値$λ$は次のように求めていく．
```math
A\vec{v} = λ\vec{v} \rightarrow (A-λI)\vec{v}=0
右辺を移行し，$\vec{v}$で括る．$λ$はスカラーのため，正方行列$A$に対して引けない．よって，単位行列$I$をかけてから引く．
A\vec{v} = λ\vec{v} \rightarrow (A-λI)\vec{v}=0
\rightarrow|A-λI|=0
$\vec{v}=0$ または $(A-λI)=0$の時に式が成り立つ．今回は固有値と固有ベクトルを求めたいため，$\vec{v}≠0$とする．よって，今回は$|A-λI|=0$となる$λ$を求める．
例：
A-λI=\begin{pmatrix}
3 & 7 \
4 & 6
\end{pmatrix}
-λ\begin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
\end{pmatrix}
```math
|A-λI|=\begin{vmatrix}
3-λ & 7 \\
4 & 6-λ
\end{vmatrix}
(3-λ)(6-λ)-4×7=0・・・(2)
(2)式から$λ＝-1,10$と求まる．
固有ベクトルの数と固有値の数は必ず同じになる．
固有ベクトルの求め方
固有値と固有ベクトルはペアになっているため，固有値がわかれば固有ベクトルも求まる．
例：(1)式に上記で求めた$λ＝-1$を代入すると，
\begin{pmatrix}
3 & 7 \
4 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\vec{v_1} \\vec{v_2}
\end{pmatrix} = -1\begin{pmatrix}
\vec{v_1} \\vec{v_2}
\end{pmatrix}\
\begin{cases}
3\vec{v_1}+7\vec{v_2}=-\vec{v_1} \
4\vec{v_1}+6\vec{v_2}=-\vec{v_2}
\end{cases}
連立方程式を解き，
>```math
\vec{v_1}=-\frac{7}{4}\vec{v_2}
よって，固有値$λ=-1$の時，固有ベクトルは$\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}$の定数倍となる．
余談
$A$が正方行列でない場合は，今回の方法では求められない．