結論
Googleスプレッドシートに特殊文字（環境依存文字）があると、PDFをエクスポートできないことがあります。このとき、エラーメッセージも特に表示されないため、原因を特定するのに時間がかかってしまいました。解決の参考にしていただければと思います。
内容
「☑︎」という文字が入っているシートを用意してみます。
通常の手順でPDFをエクスポートしてみます。
すると、確かに「 PDFをダウンロードしています 」と表示されるのですが…
その後、特に新しいファイルが作成された様子がみられません。（もちろん、実際にエクスポートも成功していない）
そこで、「☑︎」を削除した状態で、再度エクスポートをしてみます。
待つこと数秒…
今度は成功しました！
まとめ
以上です！今回は「☑︎」を例に挙げましたが、他にも同様の現象が発生する文字は存在すると思います。
もしPDFをエクスポートできないことがあったとき、シートの中身を確認してみてください！