先日Youtubeを見ていたら、何やら懐かしい問題に出くわしました。
ちょうど私の入試の年に出題され、解けなかった問題です^^;
おかげで20点を逃し1浪する羽目に…もう昔の話ですが。

微積分の理解は、しばしばエンジニアリングに役立ちます。
よって、思い出深い問題を再考してみることにしました。

問題

2019年の東大入試の理系数学では、以下のような定積分の計算が出題されました：

\int_0^1 \left( x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \left( 1 + \frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} \right) dx

所見

部分積分を使うとよい、だとか聞いた覚えがありますが、式を見て自然に思いつくのは

\begin{align*}
    &x=\tan \theta\\
    &x=\sinh \theta
\end{align*}

といった置換積分ではないでしょうか。特に、$\sqrt{1+x^2}$がそうしろと訴えています。なぜなら、これを置換する際に

\begin{align*}
    1+\tan^2 \theta &= \frac{1}{\cos^2 \theta}\\
    1+\sinh^2 \theta &= \cosh^2 \theta
\end{align*}

といった基本的な公式が使えるためです。

解答

\begin{align*}
    &\int_0^1 \left( x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \left( 1 + \frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} \right) dx\\[10pt]
    &\qquad \fbox{$x=\tan \theta, \, \theta \in [0, \pi/4]$}\\[10pt]
    =&\int_0^{\pi/4} \left( \tan^2 \theta + \tan \theta \cos \theta \right) \left( 1 + \tan \theta \cos^3 \theta \right) (\tan \theta)' d\theta\\
    =&\int_0^{\pi/4} \tan^2 \theta \, (\tan \theta)' d\theta + \int_0^{\pi/4} \frac{\sin^3 \theta}{\cos^2 \theta} d\theta\\
    &+\int_0^{\pi/4} \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} d\theta + \int_0^{\pi/4} \sin^2 \theta d\theta\\
    =& \left[ \frac{1}{3} \tan^3 \theta \right]_0^{\pi/4} + \int_0^{\pi/4} \frac{1-\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}(-\cos \theta)' d\theta\\
    &+\int_0^{\pi/4} \frac{(-\cos \theta)'}{\cos^2 \theta} d\theta + \int_0^{\pi/4} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta\\
    =& \frac{1}{3} + \left[ \frac{1}{\cos \theta} + \cos \theta \right]_0^{\pi/4} + \left[ \frac{1}{\cos \theta} \right]_0^{\pi/4} + \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{\pi/4}\\
    =& \frac{1}{3} + \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} - 2 \right) + \left( \sqrt{2} - 1 \right) + \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right)\\
    =& \frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{35}{12} + \frac{\pi}{8}
\end{align*}

得られる学び

高校数学で出てくる積分の中で比較的くせ者な形として、

\frac{1}{1 \pm x^2}, \, \frac{1}{\sqrt{1 \pm x^2}}, \, \sqrt{1 \pm x^2}

を含むものが挙げられます。このうち、符号が＋のものに対しては対処法がほぼ確立していて、

\begin{align*}
    \frac{1}{1+x^2} &\rightarrow x=\tan \theta\text{と置換}\\
    \sqrt{1+x^2}, \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} &\rightarrow x=\sinh \theta\text{と置換}
\end{align*}

となります。双曲線関数は高校の範囲外かと思いますが、慣れると三角関数よりも扱いやすいです (符号が素直) 。$\sinh$が全単射であることや$\cosh$が常に正であることも地味に嬉しい。逆関数: $\sinh^{-1} y$は自力で導けるようにしましょう。

ただまぁ、上記の対処法は絶対ではなくて、$\tan$で置換して上手くいかなそうなら$\sinh$で置換してみる、など臨機応変に対処しましょう。実際、上の東大の問題も形は$1/\sqrt{1+x^2}$ですが、$\sinh$で置換してしまうと第四項が計算できません。結果に$\pi$が混じるので、どこかで$\tan$の置換をかませる必要があります。

終わりに

久々に数学をして楽しかったです()
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