前準備
VSCodeプラグインにLatex Workshopをインストールしてビルドが通るようにする．
これさえできていれば .tex ファイル単位で文字数をカウントできます．
結論
VSCodeで文字数カウントしたい .tex ファイルを開きます．
Macなら Cmd+Shift+p，Windowsなら Ctrl+Shift+p を押して，count wordsとかで検索をかけ，↓を選択すると数えてくれる．
LaTeX Workshop: Count words in LaTeX document
※ どうやら句読点や節の見出しなどはカウントされないようです
ついでに
いや俺はショートカットを設定しないと気がすまないんだという方は，keybindings.jsonにテキトウなキーで登録すると良いと思います．
{
"key": "",
"command": "latex-workshop.wordcount"
}