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ポアソン分布

1. ポアソン分布とは

二項分布で, nが大きくpが小さい時, ポアソン分布に従う.

2. ポアソン分布の確率の定義

ポアソン分布の確率は, 以下のように定義される.
$$
p(y | \lambda) = \frac{\lambda^{y}\exp(-\lambda)}{y!}
$$
平均が$\lambda$である時, 確率変数が$y$という値になる確率.

3. ポアソン小数の法則

$np → \lambda$となるように, $n → \infty$, $p → 0$となる極限においては, 以下が成り立つ.
$$
{}_n \mathrm{C} _y, p^y(1 - p)^{n - y} → \frac{\lambda^{y}\exp(-\lambda)}{y!}
$$

4. ポアソン分布の期待値と確率変数

ポアソン分布を, $Po(\lambda)$で表す.
確率変数$Y$がポアソン分布$Po(\lambda)$に従うならば, 期待値と分散は等しくなる.
$$
E(Y) = \lambda, V(Y) = \lambda\
(\lambda\fallingdotseq np, 1 - p \fallingdotseq 1 \Longrightarrow E(y) = np → \lambda, V(y) = np(1 - p) → \lambda)
$$

5. ポアソン分布を使う場合

主に, 以下のような場合ポアソン分布を使う.

カウントデータである
平均と分散が概ね等しい
標本が大きく, 確率が小さい時

6. ポアソン分布の例

プロシア騎兵連隊において馬に蹴られて亡くなった兵士の数

$\lambda = 0.61, E(Y) = 0.61, V(Y) = 0.61, \sqrt{V(Y)} = 0.77$

死亡数	0	1	2	3	4	5
観測数	109	65	22	3	1	0
理論値	108.7	66.3	20.2	4.1	0.6	0.1

7. ポアソン分布の出力

7-1. ポアソン分布の確率の出力

ポアソン分布の確率の出力は, dpois(x, lambda = "")を用いて行う. 6. での例を用いると, 以下のように出力できる.

y <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5)
prob <- dpois(y, lambda = 0.61)
prob %>% round(digits = 2)

> prob %>% round(digits = 2)
[1] 0.54 0.33 0.10 0.02 0.00 0.00

7-2. ポアソン分布のグラフの出力

plot()を用いて, グラフを出力させると, 以下のようになる.

y <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5)
prob <- dpois(y, lambda = 0.61)
plot(y, prob, type="o")

8. 参考文献

・久保拓弥（2012）『データ解析のための統計モデリング入門』岩波書店．
・東京大学教養学部統計学教室 (編集)（1991）『統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)』東京大学出版．