問題になっていたこと

.clasp.json

{
  "scriptId": "<SCRIPT_ID>",
  "rootDir": "dist"
}

のように設定しつつ

.claspignore

**/*
!dist/**

と設定している状態で clasp push を実行すると、以下のエラー

  code: 400,
  errors: [
    {
      message: 'Project contents must include a manifest file named appsscript.',
      domain: 'global',
      reason: 'badRequest'
    }
  ]

この時のファイルの状態は

.claspignore
.clasp.json
src/
  hoge.js
dist/
  appsscript.json
  hoge.gs

原因

clasp status を実行すると

Not ignored files:

Ignored files:
└─ dist/appsscript.json
└─ dist/hoge.gs

と出力された。

.claspignore のファイルパスは、 .clasp.json で変更された rootDir に影響される模様。
すなわち、 .claspignore で指定するパスは、 rootDir で指定されたパスを起点に記述する必要が有る。

解決方法

.claspignore

!appsscript.json
!*.gs

と指定すれば、 clasp push の対象となった。