集合論

　　確率論に入る前に集合論を少し。
　　あまり数学的な厳密性にこだわらない。必要最低限にとどめたい。
　　最終的に、機械学習・深層学習につなげたいだけなので。。。

命題とは

集合論の最初にこういったことを学ぶみたい。まあ、学者先生の厳密性ということでしょう。
一応ここにしめしておく。
・数学を学ぶ上で最も基本的である論理学の基本
・「それが真 (true) であるか偽 (false) であるかがはっきりとしている事柄」を命題という

集合とは

・簡単に言えば「ものの集まり」
・「ものの集まり」が ”すべて集合”　ではない。
　例)「大きい数の集まり」「お金持ちの集まり」などはその基準が明確でなく、集合とは言えない。

集合の記述の仕方

集合の記述の仕方は実は複数パターンある。

記述パターン１：内包的記法

「x に関する命題 P(x) が真となるような x の集まり」
　　　　　$\{x | P(x)\}$
といった記述になる。
かっこでくくって、縦棒の前が要素。縦棒の後ろが命題。
例）
「 100 以上の整数の集まり」は　{x | x ∈ Z かつ x ≥ 100}

記述パターン２：外延的記法

要素を列挙して定義できる
　　　　　$\{x_1,x_2,x_3\}$
例）
「１０以下の素数全体の集合」は
$\{n|nは素数,n≦10\}$
と記述できるし（こっちは記述パターン１）
　　　　$\{1,3,5,7\}$
とも記述できる（こっちは記述パターン２）

集合の種類

要素

部分集合

・B を A の部分集合
　　　B ⊂ A または A ⊃ B と書く。
　　　B ⊂ A であり、かつある x ∈ A があって x 6∈ B
　　　であるとき B を A の真部分集合といい B ( A または A ) B と書く。

集合論で使う記号

元・・・対象 x が集合 E の元であることを x $\in$ E 。対象 x が集合 E に属する。要素ともいう。
$\cap$ 　　　　共通部分
⊂　　　　部分集合
$\cup$ 　　　　和集合
$\emptyset$ 　　　空集合・・・標本点を１つも含まない集合のこと。
$A^c$　　　　A の補集合

$\in$ 　　　　元(要素)の集合に対する帰属関係・・・これだけ要素と集合の話

詳細は以下
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8

写像

集合論のあとは写像の話が出てくる。まあ、当たり前と言えば当たり前か。。。

２つの集合の各々の要素間の関係を示す。
Ａの各元に対しＢの元が１つ定まっている対応のこと。
$f:AB$

確率論

公理論的確率（測度論的確率）

ここでは、数学的確率（古典的確率、事象論）・統計的確率（頻度論）についてはいまさらなので述べない。
知りたきゃここ　姉妹ブログ
https://strongerthansword.hatenablog.com/entry/2020/08/16/171218
*測度論の測度とは・・・面積、体積を示す。
*測度論とは・・・面積、体積をどのように求めるかを述べている。
*面積・・・積分を使うが、積分論では「リーマン積分(みんな習うやつ)」「ルベーグ積分」がある
*

確率論の基礎概念

確率論の前提

・確率論の文脈で扱えるのは、「」
・確率論で扱えるは以下の２つの前提を満たす場合である。
【前提１】起こりうる結果が何が起こるか分かっている・・・知識は十分
【前提２】どの結果が起こるのかだけが事前に分からない

例）サイコロを投げると１～６までが出ることは分かっている

確率論で扱うことが出来ない世界
何が起こるか皆目見当がつかない
事前の知識がない状態では確率論は無力である
例）未知の生命体に遭遇する確率は？
例）洞窟の中で財宝を発見する確率は？

試行

・[取り澄ました表現・固い表現]明確に定義された実験や観察の単一の実行
・一定の条件下で繰り返し行うことが出来る
・結果が偶然に支配される実験や観測のこと
例）「サイコロを投げる」という行為・・・確かに結果は偶然に左右されるよなぁ！

標本空間　$\Omega$

・ある試行で起こりうる結果からなる集合
・空集合でない集合で起こりうる結果全体の集合。・・・標本空間っていうのは集合です！！
・$\Omega$ の元 ω それぞれには起こりやすさの割合が備わっていることを仮定する。　
例）６面体のサイコロでいうと$\{1,2,3,4,5,6\}$の集合のこと。
【特徴】標本空間は、無限集合・有限集合両方ありうる
例）有限集合・・・サイコロ$\　 $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$
例）無限集合・・・車の寿命$\Omega=[0,\infty)$

事象

・標本空間の部分集合のうち確率をもつもの・・・事象も集合です！！
・「試行」の結果
・「試行」によって起こる事柄
・標本空間のうち、我々が
例）サイコロの目が奇数である。$A=\{1,3,5\}$

事象は起こったとは・・・試行の結果、事象Eの中の標本点ωが発生すること

例）式で書くと ω$\in$E

空事象・・・標本点を１つも含まない事象。これ以上細かく分解しようがない事象。

根元事象・・・１つの標本点からなる事象

余事象

排反事象(disjoint)・・・２つの事象が同時に起こらない。

[定義] A$\cap$B=$\emptyset$・・・ＡとＢは互いに排反である
つまり、片っ方が起こると、排反と分かっていると、他方は強制的に起こらなくなる。
例１）サイコロの目を以下の事象Ａ，Ｂとする。同時に発生することがないので互いに排反である。
　　事象Ａ：{1,3,5}(奇数の目が出る事象）
　　事象Ｂ：{2,4,6}(偶数の目が出る事象)
例２）物理と数学の単位を取れるかどうか。
　　互いに排反だとこれは困る。物理の単位が取れると数学は問答無用で単位が取れなくなる。
　　これは良くない例です。

確率空間

確率論の基礎

「同時確率」「条件付き確率」「乗法定理」「加法定理」「ベイズの定理」
・同時確率　　　　$P(A \cap B)$
・条件付き確率　　 $P(A \vert B)$

乗法定理[同時確率を求める]・・・２つの事象が同時に起こる確率は、１つひとつの確率の掛け合わせ

同時確率は各々の確率の積になる

加法定理・・・条件がいくつかに分けられた場合の確率計算

集合論と確率論のクロスロード

$E\subset \Omega$
$F\subset \Omega$

集合論	確率論	数式	読み方
和集合	和事象	E$\cup$F	union
積集合	積事象	E$\cap$F	intersection
差集合	差事象	E-F	difference
全体集合	全事象	$\Omega$
空集合	空事象	$\emptyset$
補集合	余事象	$E^c$	complement

これらより、集合論と確率論は非常に近い関係にあることが分かる！！

・集合の面積を求めよ　＝＞　確率論である測度論を使うのはこれが理由
・集合の体積を求めよ　＝＞　確率論である　測度論を使うのはこれが理由

・$\Omega$の面積を１とする。事象Ｅの確率は「１のうちの何割の面積を占めているのか？」と同じ
・$\omega\in\Omega$は常に成立する。事象$\Omega$は必ず起こる。
・E$\cap$F = $\emptyset$ 　起こりえない事象を$\emptyset$で表す
・$E^c$ = $\Omega-E$

事象の確率

いよいよ確率が出た！！
事象Ｅの確率は。。。。P(E)　で表す。
つまりカッコの中は、集合で表します。
例）サイコロの偶数の出る目の確率は。。。P({2,4,6})
前にも述べたけど、集合は{}で表すんだなぁ！！

確率の条件

公理１．<<非負性>>　　P(E)$\geq$ 0
公理２．<<完全加法性>>P($\Omega$) = 1　必ず起こる事象に関しては１と定義する！
公理３．$E_i \cap E_j = \emptyset$(i $\neq$ j)である事象列に対して

P(\cup_{i=1}^\infty E_i)=\sum_{i=1}^\infty P(E_i)

加算無限個の和集合　加算無限個の実数の和
おのおの無限個の和なので**「完全加法性」と呼ぶ
おのおの有限個の和だとすれば「有限加法性」**と呼ぶ

実数値集合関数

通常確率は、実数で表される。したがって、実数値集合関数とも呼ばれる。
集合Ｅが与えられたときに、実数P(E)がマッピング（写像）された。
Ｐ：Ｅ$\rightarrow$P(E)

参考

TEX
http://www27.cs.kobe-u.ac.jp/~masa-n/misc/cmc/j-kiso2001/iabasic/jlshort/node34.html