集合論
確率論に入る前に集合論を少し。
あまり数学的な厳密性にこだわらない。必要最低限にとどめたい。
最終的に、機械学習・深層学習につなげたいだけなので。。。
命題とは
集合論の最初にこういったことを学ぶみたい。まあ、学者先生の厳密性ということでしょう。
一応ここにしめしておく。
・数学を 学ぶ上で最も 基本的である論理学の基本
・「それが真 (true) であるか偽 (false) であるかがはっきりとしている事柄」を命題という
集合とは
・簡単に言えば「ものの集まり」
・「ものの集まり」が ”すべて集合” ではない。
例)「大きい数の集まり」「お金持ちの集まり」などはその基準が明確でなく、集合とは言えない。
集合の記述の仕方
集合の記述の仕方は実は複数パターンある。
記述パターン１：内包的記法
「x に関する 命題 P(x) が真と なる ような x の集まり」
$\{x | P(x)\}$
といった記述になる。
かっこでくくって、縦棒の前が要素。縦棒の後ろが命題。
例）
「 100 以上の整数の集まり 」は {x | x ∈ Z かつ x ≥ 100}
記述パターン２：外延的記法
要素を列挙して定義できる
$\{x_1,x_2,x_3\}$
例）
「１０以下の素数全体の集合」は
$\{n|nは素数,n≦10\}$
と記述できるし（こっちは記述パターン１）
$\{1,3,5,7\}$
とも記述できる（こっちは記述パターン２）
集合の種類
要素
部分集合
・B を A の部分集合
B ⊂ A ま たは A ⊃ B と 書く 。
B ⊂ A であり 、 かつある x ∈ A があっ て x 6∈ B
である と き B を A の真部分集合と いい B ( A ま たは A ) B と 書く 。
集合論で使う記号
元・・・対象 x が集合 E の元であることを x $\in$ E 。対象 x が集合 E に属する。要素ともいう。
$\cap$ 共通部分
⊂ 部分集合
$\cup$ 和集合
$\emptyset$ 空集合・・・標本点を１つも含まない集合のこと。
$A^c$ A の補集合
$\in$ 元(要素)の集合に対する帰属関係・・・これだけ要素と集合の話
詳細は以下
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
写像
集合論のあとは写像の話が出てくる。まあ、当たり前と言えば当たり前か。。。
２つの集合の各々の要素間の関係を示す。
Ａの各元に対しＢの元が１つ定まっている対応のこと。
$f:AB$
確率論
公理論的確率（測度論的確率）
ここでは、数学的確率（古典的確率、事象論）・統計的確率（頻度論）についてはいまさらなので述べない。
知りたきゃここ 姉妹ブログ
https://strongerthansword.hatenablog.com/entry/2020/08/16/171218
*測度論の測度とは・・・面積、体積を示す。
*測度論とは・・・面積、体積をどのように求めるかを述べている。
*面積・・・積分を使うが、積分論では「リーマン積分(みんな習うやつ)」「ルベーグ積分」がある
*
確率論の基礎概念
確率論の前提
・確率論の文脈で扱えるのは、「」
・確率論で扱えるは以下の２つの前提を満たす場合である。
【前提１】起こりうる結果が何が起こるか分かっている・・・知識は十分
【前提２】どの結果が起こるのかだけが事前に分からない
例）サイコロを投げると１～６までが出ることは分かっている
確率論で扱うことが出来ない世界
何が起こるか皆目見当がつかない
事前の知識がない状態では確率論は無力である
例）未知の生命体に遭遇する確率は？
例）洞窟の中で財宝を発見する確率は？
試行
・[取り澄ました表現・固い表現]明確に定義された実験や観察の単一の実行
・一定の条件下で繰り返し行うことが出来る
・結果が偶然に支配される実験や観測のこと
例）「サイコロを投げる」という行為・・・確かに結果は偶然に左右されるよなぁ！
標本空間 $\Omega$
・ある試行で起こりうる結果からなる集合
・空集合でない集合で起こりうる結果全体の集合。・・・標本空間っていうのは集合です！！
・$\Omega$ の元 ω それぞれには起こりやすさの割合が備わっていることを仮定する。
例）６面体のサイコロでいうと$\{1,2,3,4,5,6\}$の集合のこと。
【特徴】標本空間は、無限集合・有限集合両方ありうる
例）有限集合・・・サイコロ$\ $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$
例）無限集合・・・車の寿命$\Omega=[0,\infty)$
事象
・標本空間の部分集合のうち確率をもつもの・・・事象も集合です！！
・「試行」の結果
・「試行」によって起こる事柄
・標本空間のうち、我々が
例）サイコロの目が奇数である。$A=\{1,3,5\}$
事象は起こったとは・・・試行の結果、事象Eの中の標本点ωが発生すること
例）式で書くと ω$\in$E
空事象・・・標本点を１つも含まない事象。これ以上細かく分解しようがない事象。
根元事象・・・１つの標本点からなる事象
余事象
排反事象(disjoint)・・・２つの事象が同時に起こらない。
[定義] A$\cap$B=$\emptyset$・・・ＡとＢは互いに排反である
つまり、片っ方が起こると、排反と分かっていると、他方は強制的に起こらなくなる。
例１）サイコロの目を以下の事象Ａ，Ｂとする。同時に発生することがないので互いに排反である。
事象Ａ：{1,3,5}(奇数の目が出る事象）
事象Ｂ：{2,4,6}(偶数の目が出る事象)
例２）物理と数学の単位を取れるかどうか。
互いに排反だとこれは困る。物理の単位が取れると数学は問答無用で単位が取れなくなる。
これは良くない例です。
確率空間
確率論の基礎
「同時確率」「条件付き確率」「乗法定理」「加法定理」「ベイズの定理」
・同時確率 $P(A \cap B)$
・条件付き確率 $P(A \vert B)$
乗法定理[同時確率を求める]・・・２つの事象が同時に起こる確率は、１つひとつの確率の掛け合わせ
同時確率は各々の確率の積になる
加法定理・・・条件がいくつかに分けられた場合の確率計算
集合論と確率論のクロスロード
$E\subset \Omega$
$F\subset \Omega$
| 集合論 | 確率論 | 数式 | 読み方 |
|---|---|---|---|
| 和集合 | 和事象 | E$\cup$F | union |
| 積集合 | 積事象 | E$\cap$F | intersection |
| 差集合 | 差事象 | E-F | difference |
| 全体集合 | 全事象 | $\Omega$ | |
| 空集合 | 空事象 | $\emptyset$ | |
| 補集合 | 余事象 | $E^c$ | complement |
これらより、集合論と確率論は非常に近い関係にあることが分かる！！
・集合の面積を求めよ ＝＞ 確率論である 測度論を使うのはこれが理由
・集合の体積を求めよ ＝＞ 確率論である 測度論を使うのはこれが理由
・$\Omega$の面積を１とする。事象Ｅの確率は「１のうちの何割の面積を占めているのか？」と同じ
・$\omega\in\Omega$は常に成立する。事象$\Omega$は必ず起こる。
・E$\cap$F = $\emptyset$ 起こりえない事象を$\emptyset$で表す
・$E^c$ = $\Omega-E$
事象の確率
いよいよ確率が出た！！
事象Ｅの確率は。。。。P(E) で表す。
つまりカッコの中は、集合で表します。
例）サイコロの偶数の出る目の確率は。。。P({2,4,6})
前にも述べたけど、集合は{}で表すんだなぁ！！
確率の条件
公理１．<<非負性>> P(E)$\geq$ 0
公理２．<<完全加法性>>P($\Omega$) = 1 必ず起こる事象に関しては１と定義する！
公理３．$E_i \cap E_j = \emptyset$(i $\neq$ j)である事象列に対して
P(\cup_{i=1}^\infty E_i)=\sum_{i=1}^\infty P(E_i)
加算無限個の和集合 加算無限個の実数の和
おのおの無限個の和なので**「完全加法性」と呼ぶ
おのおの有限個の和だとすれば「有限加法性」**と呼ぶ
実数値集合関数
通常確率は、実数で表される。したがって、実数値集合関数とも呼ばれる。
集合Ｅが与えられたときに、実数P(E)がマッピング（写像）された。
Ｐ：Ｅ$\rightarrow$P(E)
参考
TEX
http://www27.cs.kobe-u.ac.jp/~masa-n/misc/cmc/j-kiso2001/iabasic/jlshort/node34.html