ログファイル出力するにはリダイレクトさせる、リダイレクトには> を使う

echo hoge > fuga.log

追記するには>>とする、ログファイルなら普通はこの方法

echo hoge >> fuga.log
echo piyo >> fuga.log

で、このファイル名に日付や時刻をセットすれば、よりログファイルっぽくなる。

ということで、
環境変数の文字列切り出しなどを使ってやってみる

set dt1=%date:~0,4%%date:~5,2%%date:~8,2%
set tm1=%time:~0,2%%time:~3,2%%time:~6,2%
set fname1=%dt1%_%tm1%.log

時刻のフォーマットで　空白文字が出て困る場合は、文字変換などを使うなどして、もう一工夫

set dt2=%date:~0,10%
set dt2=%dt2:/=%
set dt2=%dt2: =0%

set tm2=%time:~0,8%
set tm2=%tm2::=%
set tm2=%tm2: =0%

set fname2=%dt2%_%tm2%.log

あとは

echo hoge >> %fname2%
echo piyo >> %fname2%

とかまあ