SO(3)の指数写像の微分（ヤコビアン）の導出
SO(3)の指数写像の基本
$R \in \mathrm{SO}(3)$における接空間$T_{R}\mathrm{SO}(3)$は、
T_{R}\mathrm{SO}(3) = \{RA| A \in \mathfrak{so}(3)\}
である。$\mathfrak{so}(3)$は$I_3 \in \mathrm{SO}(3)$における接空間であり、
\begin{eqnarray}
\mathfrak{so}(3) &=& \{A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} | A^T = -A\} \\
&=& \left\{ \begin{bmatrix} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{bmatrix} \middle| \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3} \right\} \\
\end{eqnarray}
と表される歪対称行列全体の空間である。
$\mathfrak{so}(3)$は3次元の線型空間であり、
\boldsymbol{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3}
に対して、
\boldsymbol{u}^{\land} = \begin{bmatrix} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{bmatrix} \in \mathfrak{so}(3)
を対応させる全単射の写像を介して$\mathfrak{so}(3)$と$\mathbb{R}^{3}$は同一視できる。
$R \in \mathrm{SO}(3)$における指数写像は、$A \in T_{R}\mathrm{SO}(3)$に対して、
\exp_{R} (A) = R \exp(R^T A)
と定義される。$\exp$は正方行列に対して定義される通常の指数写像であり、$X \in \mathbb{R}^{d \times d}$に対して、
\exp(X) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} X^k
と定義される。この指数写像を$\mathfrak{so}(3)$に制限すると、これは$I_3$の接空間$\mathfrak{so}(3)$から$\mathrm{SO}(3)$への写像となる。
なぜ$A \in \mathfrak{so}(3)$であれば$\exp(A) \in \mathrm{SO}(3)$かと言えば、$A \in \mathfrak{so}(3)$であれば、
\begin{eqnarray}
(\exp(A))^T &=& \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} (A)^k \right)^T \\
&=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} (A^T)^k \\
&=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} (-A)^k \\
&=& \exp(-A)
\end{eqnarray}
であり、
\begin{eqnarray}
(\exp(A))^T \exp(A) &=& \left( \sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{p!} (-A)^p \right) \left( \sum_{q=0}^{\infty} \frac{1}{q!} A^q \right) \\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=1}^{k} \frac{1}{m!} \frac{1}{(n-m)!} (-A)^m A^{n-m} \\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\sum_{m=1}^{n} \frac{n!}{m!(n-m)!}(-A)^m A^{n-m} \\
&=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} (-A + A)^k \\
&=& I_3
\end{eqnarray}
となる。つまり、
(\exp(A))^T = \exp(-A) = \exp(A)^{-1}
である。したがって、$\exp(A) \in \mathrm{SO}(3)$である。
この議論から、一般に正方行列$A, B \in \mathbb{R}^{d \times d}$が可換ならば、
\exp(A) \exp(B) = \exp(A + B)
が成り立つ。$A, B$が可換でない場合、一般にはこの関係は成立しない。
SO(3)の指数写像の微分
まず、$\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^3, t \in \mathbb{R}$について、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt} \exp(t \boldsymbol{v}^{\land}) &=& \frac{d}{dt} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} (t \boldsymbol{v}^{\land})^k \\
&=& \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} t^{k-1} (\boldsymbol{v}^{\land})^k \\
&=& \boldsymbol{v}^{\land} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} t^{k-1} (\boldsymbol{v}^{\land})^{k-1} \\
&=& \boldsymbol{v}^{\land} \exp(t \boldsymbol{v}^{\land})
\end{eqnarray}
となる。この変形から分かる通り、$\boldsymbol{v}^{\land}$と$\exp(t \boldsymbol{v}^{\land})$は可換である。
$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^3, R = \exp(\boldsymbol{x}^{\land}) \in \mathrm{SO}(3)$をとる。$\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^3, t \in \mathbb{R}$について、
\left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} \exp((\boldsymbol{x} + t \boldsymbol{v})^{\land}) = \left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} \exp(\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land})
を$\exp$の$R (= \exp(\boldsymbol{x}^{\land}))$における$\boldsymbol{v}^{\land}$方向への微分とする。
\left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} \exp(t \boldsymbol{v}^{\land}) = \boldsymbol{v}^{\land}
なので、$\exp$の$I_3$における$\boldsymbol{v}^{\land}$方向への微分は$\boldsymbol{v}^{\land}$である。
$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$の場合、$\boldsymbol{x}^{\land}$と$\boldsymbol{v}^{\land}$は一般には可換でないので、この微分は簡単には計算できない。
任意の$t$に依存した実正方行列$Z \in \mathbb{R}^d$が$t$で微分可能な場合、以下の計算ができる。$\exp$の定義より
\exp(Z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} Z^k
であり、これを$t$で微分して、
\frac{d}{dt} \exp(Z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \sum_{p=0}^{k-1} Z^{p} \left( \frac{d}{dt} Z\right) Z^{k-p-1}
である。$Z$と$\frac{d}{dt} Z$が一般に可換でないので、行列積の微分はこのような和の形になる。$q = k-p-1$として和に関して変数を変換して、
\frac{d}{dt} \exp(Z) = \sum_{p=0}^{\infty} \sum_{q=0}^{\infty} \frac{1}{(p+q+1)!} Z^p \left( \frac{d}{dt} Z\right) Z^{q}
となる。
整数$p, q$に対して、
\int_{0}^{1} (1-s)^p s^q ds = \frac{p!q!}{(p+q+1)!}
という関係があるので、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt} \exp(Z) &=& \int_{0}^{1} \sum_{p=0}^{\infty} \sum_{q=0}^{\infty} \frac{(1-s)^p s^q}{p!q!} Z^p \left( \frac{d}{dt} Z\right) Z^{q} ds \\
&=& \int_{0}^{1} \left( \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(1-s)^p}{p!}Z^p \right) \left( \frac{d}{dt} Z\right) \left( \sum_{q=0}^{\infty} \frac{s^q}{q!}Z^q \right) ds \\
&=& \int_{0}^{1} \exp((1-s)Z) \left( \frac{d}{dt} Z\right) \exp(sZ) ds \\
&=& \exp(Z) \int_{0}^{1} \exp(-sZ) \left( \frac{d}{dt} Z\right) \exp(sZ) ds \\
\end{eqnarray}
となる。
ここで、
F(s) = \exp(-sZ) \left( \frac{d}{dt} Z\right) \exp(sZ)
とすると、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{ds} F(s) &=& \frac{d}{ds} \left( \exp(-sZ) \left( \frac{d}{dt} Z\right) \exp(sZ) \right)\\
&=& (-Z) \exp(-sZ) \left( \frac{d}{dt} Z\right) \exp(sZ) + \exp(-sZ) \left( \frac{d}{dt} Z\right) (Z) \exp(sZ) \\
&=& -Z \exp(-sZ) \left( \frac{d}{dt} Z\right) \exp(sZ) + \exp(-sZ) \left( \frac{d}{dt} Z\right) \exp(sZ) Z\\
&=& - Z F(s) + F(s) Z \\
&=& - [Z, F(s)]
\end{eqnarray}
となる。
ここで、行列を行列に対応させる作用素$\mathrm{ad}_{Z}$を
\mathrm{ad}_{Z} (\cdot) = [Z, \cdot]
とする。交換関係が線型なので、$\mathrm{ad}_{Z}$は線型作用素である。
すると、
\frac{d}{ds} F(s) = -\mathrm{ad}_{Z} (F(s))
となる。
これを満たす$F(s)$は
F(s) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-s)^k}{k!} \mathrm{ad}_{Z}^{k} (F(0))
と表せる。ただし、$\mathrm{ad}_Z^k$は$\mathrm{ad}_Z$を$k$回作用させる作用素であり、
\begin{eqnarray}
\mathrm{ad}_{Z}^{1} (\cdot) &=& [Z, \cdot] \\
\mathrm{ad}_{Z}^{2} (\cdot) &=& [Z, [Z, \cdot]] \\
\mathrm{ad}_{Z}^{3} (\cdot) &=& [Z, [Z, [Z, \cdot]]]
\end{eqnarray}
のような演算を表す。$k=0$の$\mathrm{ad}_Z^0$は恒等変換。
この冪級数で定義された作用素は指数写像の定義との類似から
\exp(-s\mathrm{ad}_{Z})(\cdot) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-s)^k}{k!} \mathrm{ad}_{Z}^{k} (\cdot)
と表される。$F(0) = \frac{d}{dt} Z$なので、
F(s) = \exp(-s\mathrm{ad}_{Z}) \left(\frac{d}{dt} Z\right)
である。したがって、
\frac{d}{dt} \exp(Z) = \exp(Z) \int_{0}^{1} \exp(-s\mathrm{ad}_{Z}) \left(\frac{d}{dt} Z\right) ds
となる。積分を計算する。
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{1} \exp(-s\mathrm{ad}_{Z}) \left(\frac{d}{dt} Z\right) ds &=& \int_{0}^{1} \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-s)^k}{k!} \mathrm{ad}_{Z}^{k} \left(\frac{d}{dt} Z\right) \right) ds \\
&=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\int_{0}^{1} (-s)^k ds}{k!} \mathrm{ad}_{Z}^{k} \left(\frac{d}{dt} Z\right) \\
&=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \mathrm{ad}_{Z}^{k} \left(\frac{d}{dt} Z\right)
\end{eqnarray}
この冪級数で定義された作用素は、
\begin{eqnarray}
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \lambda^k &=& - \frac{1}{\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!} \lambda^{k+1} \\
&=& \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!} \lambda^{k} \\
&=& \frac{1 - e^{-\lambda}}{\lambda}
\end{eqnarray}
という関数の冪級数展開との類似から、線型作用素$\mathrm{ad}_{Z}$についても、
\left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}}{\mathrm{ad}_{Z}} \right) \left(\frac{d}{dt} Z\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \mathrm{ad}_{Z}^{k} \left(\frac{d}{dt} Z\right)
と表す。なお、
\frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}}{\mathrm{ad}_{Z}}
はこれで一つの冪級数で定義された作用素であり、$\frac{1}{\mathrm{ad}_{Z}}$などの作用の合成で考えるものではない。ただの作用素の記法である。
これを使って、
\frac{d}{dt} \exp(Z) = \exp(Z) \left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}}{\mathrm{ad}_{Z}} \right) \left(\frac{d}{dt} Z\right)
となる。
これを$Z = \boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}$として用いて、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt} \exp(\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}) &=& \exp(\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}) \left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}}}}{\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}}} \right) \left(\frac{d}{dt} (\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land})\right) \\
&=& \exp(\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}) \left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}}}}{\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}}} \right) (\boldsymbol{v}^{\land}) \\
\end{eqnarray}
$t=0$とすると、
\begin{eqnarray}
\left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} \exp(\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}) &=& \exp(\boldsymbol{x}^{\land}) \left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}}}{\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}} \right) (\boldsymbol{v}^{\land}) \\
&=& R \left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}}}{\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}} \right) (\boldsymbol{v}^{\land})
\end{eqnarray}
となる。これが求めたかった$\exp$の$R (= \exp(\boldsymbol{x}^{\land}))$における$\boldsymbol{v}^{\land}$方向への微分である。
歪対称行列の交換関係について考える。
$\boldsymbol{x}^{\land}, \boldsymbol{v}^{\land} \in \mathfrak{so}(3)$について、交換関係の定義から、
\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}(\boldsymbol{v}^{\land}) = [\boldsymbol{x}^{\land}, \boldsymbol{v}^{\land}] = \boldsymbol{x}^{\land} \boldsymbol{v}^{\land} - \boldsymbol{v}^{\land} \boldsymbol{x}^{\land}
であり、
\begin{eqnarray}
[\boldsymbol{x}^{\land}, \boldsymbol{v}^{\land}]^T &=& (\boldsymbol{x}^{\land} \boldsymbol{v}^{\land})^T - (\boldsymbol{v}^{\land} \boldsymbol{x}^{\land})^T \\
&=& (\boldsymbol{v}^{\land})^T (\boldsymbol{x}^{\land})^T - (\boldsymbol{x}^{\land})^T (\boldsymbol{v}^{\land})^T \\
&=& (-\boldsymbol{v}^{\land}) (-\boldsymbol{x}^{\land}) - (-\boldsymbol{x}^{\land}) (- \boldsymbol{v}^{\land}) \\
&=& \boldsymbol{v}^{\land} \boldsymbol{x}^{\land} - \boldsymbol{v}^{\land} \boldsymbol{x}^{\land} \\
&=& - [\boldsymbol{x}^{\land}, \boldsymbol{v}^{\land}]
\end{eqnarray}
となるので、交換関係$[\boldsymbol{x}^{\land}, \boldsymbol{v}^{\land}]$も歪対称行列である。つまり、$\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}(\boldsymbol{v}^{\land}) \in \mathfrak{so}(3)$。
これを具体的に計算すると、
\begin{eqnarray}
[\boldsymbol{x}^{\land}, \boldsymbol{v}^{\land}] &=& \boldsymbol{x}^{\land} \boldsymbol{v}^{\land} - \boldsymbol{v}^{\land} \boldsymbol{x}^{\land} \\
&=& \begin{bmatrix} 0 & - x_1 v_2 + x_2 v_1 & x_3 v_1 - x_1 v_3 \\ x_1 v_2 - x_2 v_1 & 0 & - x_2 v_3 + x_3 v_2 \\ - x_3 v_1 + x_1 v_3 & x_2 v_3 - x_3 v_2 & 0 \end{bmatrix} \\
&=& ((\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{v})^{\land} \\
&=& (\boldsymbol{x} \times \boldsymbol{v})^{\land}
\end{eqnarray}
となる。これは、歪対称行列$\boldsymbol{x}^{\land}$とベクトル$\boldsymbol{v}$の行列積の結果のベクトルを歪対称行列化したものであり、$\mathbb{R}^3$での外積ベクトルの歪対称行列になっている。
$\mathfrak{so}(3)$に対応する$\mathbb{R}^3$で考えて、
\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}(\boldsymbol{v}^{\land}) = (\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{v}))^{\land}
となる、$\mathbb{R}^3$で定義された作用素を考えると、$\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}} (\cdot)$は$\mathbb{R}^3$から$\mathbb{R}^3$への線型作用素であり、$3 \times 3$行列で表せる。その$3 \times 3$行列は$\boldsymbol{x}^{\land}$である。
\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{v}) = (\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{v}
これにより、作用素$\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}}$を$k$回作用させる作用素も$\mathbb{R}^3$で考えれば、
\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}^k (\boldsymbol{v}) = \left((\boldsymbol{x}^{\land})^k \boldsymbol{v}\right)^{\land}
と歪対称行列の累乗で計算することができる。
ここで、
\left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}}}{\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}} \right) (\boldsymbol{v}^{\land}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}^{k} \left(\boldsymbol{v}^{\land}\right)
だった。これを$\mathbb{R}^3$での計算に置き換えると、
\left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}}}{\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}} \right) (\boldsymbol{v}^{\land}) = \left(\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} (\boldsymbol{x}^{\land})^k \right)\boldsymbol{v} \right)^{\land}
となる。この式から、
\left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}}}{\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}} \right) (\boldsymbol{v}^{\land}) \in \mathfrak{so}(3)
であり、
\left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} \exp(\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}) = R \left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}}}{\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}} \right) (\boldsymbol{v}^{\land}) \in T_R \mathrm{SO}(3)
であることがわかる。
$R$における微分$\left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} \exp(\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land})$を求めるのに必要な$\boldsymbol{v}^{\land}$に対する作用素の計算
\left( \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}}}{\mathrm{ad}_{\boldsymbol{x}^{\land}}} \right) (\boldsymbol{v}^{\land})
は、ベクトル$\boldsymbol{v}$に対して冪級数で表された行列
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} (\boldsymbol{x}^{\land})^k
を左からかけて、歪対称行列にする操作であるということがわかった。次はこの$\boldsymbol{x}^{\land}$の冪級数をさらに具体的に計算する。
$\boldsymbol{x}^{\land}$は歪対称行列なので、
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{x}^{\land})^2 &=& \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T - \|\boldsymbol{x}\|^2 I_3 \\
(\boldsymbol{x}^{\land})^3 &=& - \|\boldsymbol{x}\|^2 \boldsymbol{x}^{\land}
\end{eqnarray}
である。これを使って次数を下げる。
\begin{eqnarray}
&&\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} (\boldsymbol{x}^{\land})^k \\
&=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2k}}{(2k+1)!} (\boldsymbol{x}^{\land})^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2k+1}}{(2k+2)!} (\boldsymbol{x}^{\land})^{2k+1} \\
&=& I_3 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} (\boldsymbol{x}^{\land})^{2k} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+2)!} (\boldsymbol{x}^{\land})^{2k+1} \\
&=& I_3 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\|\boldsymbol{x}\|^{2k-2}}{(2k+1)!} (\boldsymbol{x}^{\land})^{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \|\boldsymbol{x}\|^{2k}}{(2k+2)!} (\boldsymbol{x}^{\land}) \\
\end{eqnarray}
$\boldsymbol{x}^{\land}, (\boldsymbol{x}^{\land})^2$の係数を計算する。
\begin{eqnarray}
- \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \|\boldsymbol{x}\|^{2k}}{(2k+2)!} &=& \frac{1}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} \|\boldsymbol{x}\|^{2k+2}}{(2k+2)!} \\
&=& \frac{1}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} \left( -1 + \sum_{k=-1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} \|\boldsymbol{x}\|^{2k+2}}{(2k+2)!}\right) \\
&=& \frac{1}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} \left( -1 + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \|\boldsymbol{x}\|^{2k}}{2k!}\right) \\
&=& -\frac{1-\cos \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\|\boldsymbol{x}\|^{2k-2}}{(2k+1)!} &=& -\frac{1}{\|\boldsymbol{x}\|^3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\|\boldsymbol{x}\|^{2k+1}}{(2k+1)!} \\
&=& - \frac{1}{\|\boldsymbol{x}\|^3} \left(-\|\boldsymbol{x}\| + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\|\boldsymbol{x}\|^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) \\
&=& \frac{\|\boldsymbol{x}\| - \sin \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^3}
\end{eqnarray}
以上より、
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} (\boldsymbol{x}^{\land})^k = I_3 -\frac{1-\cos \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} \boldsymbol{x}^{\land} + \frac{\|\boldsymbol{x}\| - \sin \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^3} (\boldsymbol{x}^{\land})^2
これを用いると、
\left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} \exp(\boldsymbol{x}^{\land} + t \boldsymbol{v}^{\land}) = R \left(\left( I_3 -\frac{1-\cos \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} \boldsymbol{x}^{\land} + \frac{\|\boldsymbol{x}\| - \sin \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^3} (\boldsymbol{x}^{\land})^2 \right) \boldsymbol{v} \right)^{\land}
となる。
この行列
I_3 -\frac{1-\cos \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} \boldsymbol{x}^{\land} + \frac{\|\boldsymbol{x}\| - \sin \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^3} (\boldsymbol{x}^{\land})^2
は、$I_3 \in \mathrm{SO}(3)$の接空間$T_{I_3} \mathrm{SO}(3) = \mathfrak{so}(3)$において、$\boldsymbol{x}$の近傍の微小な変動に対応する$\mathrm{SO}(3)$での$R =\exp(\boldsymbol{x}^{\land})$近傍の変動が、$R =\exp(\boldsymbol{x}^{\land})$の接空間$T_R \mathrm{SO}(3)$ではどう見えるかを表している。この行列は指数写像$\exp$のヤコビアン（左ヤコビアン）と呼ばれる。
ヤコビアンの行列式
指数写像$\exp$のヤコビアン
J(\boldsymbol{x}) = I_3 -\frac{1-\cos \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} \boldsymbol{x}^{\land} + \frac{\|\boldsymbol{x}\| - \sin \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^3} (\boldsymbol{x}^{\land})^2
の行列式を求める。
まずは、$\boldsymbol{x}^{\land}$の固有値を求める。
(\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u}
とすると、$\boldsymbol{u} \in \mathbb{R}^3$であれば、
\boldsymbol{x} \times \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u}
であるので、これを満たす実ベクトルの$\boldsymbol{u}$は、$\boldsymbol{u} =\beta \boldsymbol{x}, \beta \in \mathbb{R}$に限られる。この時、$\boldsymbol{x} \times \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}$なので、$\lambda = 0$。
$\lambda = 0$以外の固有値を求める。$\boldsymbol{x}^{\land}$は実歪対称行列なので、
(\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u}
であれば、
(\boldsymbol{x}^{\land})^{\dagger} \boldsymbol{u} = (\boldsymbol{x}^{\land})^{T} \boldsymbol{u} = (-\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} = -\lambda \boldsymbol{u}
である。ただし、$^\dagger$により共役転置を表す。
\begin{eqnarray}
&&\boldsymbol{u}^{\dagger} (\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} = \lambda \|\boldsymbol{u}\|^2 \\
&&\boldsymbol{u}^{\dagger} (\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} = \left((\boldsymbol{x}^{\land})^\dagger \boldsymbol{u}\right) ^\dagger \boldsymbol{u} = - \bar{\lambda} \|\boldsymbol{u}\|^2
\end{eqnarray}
であるため、固有値は$\lambda = - \bar{\lambda}$を満たす。ただし、$\bar{\lambda}$は$\lambda$の共役複素数。
$\lambda = - \bar{\lambda}$から、$\lambda$は純虚数である。つまり実数$a \neq 0$が存在して、$\lambda = a i$と表せて、
\|(\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u}\|^2 = \boldsymbol{u}^{\dagger} (\boldsymbol{x}^{\land})^{\dagger} (\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} = a^2 \|\boldsymbol{u}\|^2
となる。また、このとき
\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{u} = \boldsymbol{x}^T \left(\frac{1}{ai} (\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} \right) = \frac{1}{ai} \boldsymbol{x}^T (-\boldsymbol{x}^{\land})^T \boldsymbol{u} = - \frac{1}{ai} \left((\boldsymbol{x}^{\land})\boldsymbol{x} \right)^T \boldsymbol{u} = 0
となる。これは、$(\boldsymbol{x}^{\land})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$であるからである。
さらに歪対称行列の性質から、
(\boldsymbol{x}^{\land})^2 = \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T - \|\boldsymbol{x}\|^2I_3
なので、
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{x}^{\land})^2 \boldsymbol{u} &=& (\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{u}) \boldsymbol{x} - \|\boldsymbol{x}\|^2 \boldsymbol{u} \\
&=& - \|\boldsymbol{x}\|^2 \boldsymbol{u}
\end{eqnarray}
である。したがって、
\begin{eqnarray}
\|(\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u}\|^2 &=& \boldsymbol{u}^{\dagger} (\boldsymbol{x}^{\land})^{\dagger} (\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} \\
&=& \boldsymbol{u}^{\dagger} (\boldsymbol{x}^{\land})^T (\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} \\
&=& \boldsymbol{u}^{\dagger} (-\boldsymbol{x}^{\land}) (\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u} \\
&=& - \boldsymbol{u}^{\dagger} (\boldsymbol{x}^{\land})^2 \boldsymbol{u} \\
&=& \|\boldsymbol{x}\|^2 \|\boldsymbol{u}\|^2
\end{eqnarray}
となる。以上より、$a = \pm \|\boldsymbol{x}\|$である。
よって、歪対称行列$\boldsymbol{x}^{\land}$の固有値は$0, \pm i\|\boldsymbol{x}\|$である。
$\boldsymbol{x}^{\land}$の固有値$\lambda$に対応する$\boldsymbol{0}$でない固有ベクトルをそれぞれ任意にとり$\boldsymbol{u}_{\lambda}$とすると、
\begin{eqnarray}
J(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{u}_{\lambda} &=& \boldsymbol{u}_{\lambda} -\frac{1-\cos \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} (\boldsymbol{x}^{\land}) \boldsymbol{u}_{\lambda} + \frac{\|\boldsymbol{x}\| - \sin \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^3} (\boldsymbol{x}^{\land})^2 \boldsymbol{u}_{\lambda} \\
&=& \boldsymbol{u}_{\lambda} -\frac{1-\cos \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} \lambda \boldsymbol{u}_{\lambda} + \frac{\|\boldsymbol{x}\| - \sin \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^3} \lambda^2 \boldsymbol{u}_{\lambda} \\
&=& \left(1 -\frac{1-\cos \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}} \lambda + \frac{\|\boldsymbol{x}\| - \sin \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^3} \lambda^2 \right)\boldsymbol{u}_{\lambda} \\
\end{eqnarray}
となる。$J(\boldsymbol{x})$と$\boldsymbol{x}$の固有ベクトルは共通しており、$J(\boldsymbol{x})$の固有値は$\lambda = 0, \pm i\|\boldsymbol{x}\|$を代入して、
1, \frac{ \sin \|\boldsymbol{x}\| \pm i(1 - \cos \|\boldsymbol{x}\|)}{\|\boldsymbol{x}\|}
となる。$J(\boldsymbol{x})$の行列式は$J(\boldsymbol{x})$のすべての固有値の積であるので、
\begin{eqnarray}
\det J(\boldsymbol{x}) &=& 1 \cdot \frac{ \sin \|\boldsymbol{x}\| + i(1 - \cos \|\boldsymbol{x}\|)}{\|\boldsymbol{x}\|} \cdot \frac{ \sin \|\boldsymbol{x}\| - i(1 - \cos \|\boldsymbol{x}\|)}{\|\boldsymbol{x}\|} \\
&=& \frac{\sin^2 \|\boldsymbol{x}\| + (1 - \cos \|\boldsymbol{x}\|)^2 }{\|\boldsymbol{x}\|^2} \\
&=& \frac{2 - 2\cos \|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^2} \\
&=& \frac{4}{\|\boldsymbol{x}\|^2} \sin^2 \left(\frac{\|\boldsymbol{x}\|}{2} \right) \\
\end{eqnarray}
となる。