「GPSって、なんでピタッと止まってるのに位置がフラフラ動くの？」

スマホのマップアプリで青い点がプルプル震える経験、誰にでもあるはずです。あれ、実は衛星からの信号に含まれるノイズが原因。でも、車のナビはなぜあんなに滑らかに動くのか？

答えは「カルマンフィルター」という1960年発明の古典的アルゴリズムにあります。しかも、その本質はたった2つのパラメータで決まる——この事実、知ってました？

ざっくり本質：センサーと予測モデル、どっちを信じる？

カルマンフィルターを一言で表すならこうです：

「予測モデル」と「観測値」の間で、確率論的に最も確からしい値を計算する仕組み

イメージは「2人の証人の証言を、それぞれの信用度で重み付けして平均する」感じ。片方の証人がいつも酔っ払ってる（観測ノイズ大）なら、もう片方の冷静な証言（予測モデル）を重視する——これが本質です。

重要なのは、この「信用度」が時間とともに自動更新される点。最初は予測を信じていても、観測が何度も続けば「あれ、思ったよりセンサー正確だな」と学習して重みを変える。これが単なる移動平均との決定的な違いです。

数式で理解する：たった2行の更新則

カルマンフィルターの心臓部は、以下の予測ステップと更新ステップの2つだけ。1次元の場合、行列すら不要です。

予測ステップ（「次はここら辺にいるはず」）

\hat{x}_{k|k-1} = \hat{x}_{k-1|k-1} + \Delta t \cdot v

P_{k|k-1} = P_{k-1|k-1} + Q

更新ステップ（「観測が来たから修正」）

K_k = \frac{P_{k|k-1}}{P_{k|k-1} + R}

\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k (z_k - \hat{x}_{k|k-1})

P_{k|k} = (1 - K_k) P_{k|k-1}

各変数の意味：

$\hat{x}$: 推定したい状態（例：位置）
$P$: 推定の不確かさ（分散）——小さいほど自信あり
$Q$: プロセスノイズ——「予測モデルがどれだけ外れる可能性があるか」
$R$: 観測ノイズ——「センサーの測定誤差」
$K$: カルマンゲイン——予測と観測の「信用比率」、0〜1の値
$z_k$: 実際の観測値

直感的解釈: $K$が1に近いほど観測を重視、0に近いほど予測を重視。$K$は$P$と$R$の大小で自動決定されます。

コードで実装する：たった25行で動く

ここがこの記事の核心。上の数式をそのままJavaScriptに落とします。

class KalmanFilter1D {
  constructor(initialX, initialP, Q, R) {
    this.x = initialX; // 状態推定値
    this.P = initialP; // 推定誤差共分散
    this.Q = Q;        // プロセスノイズ
    this.R = R;        // 観測ノイズ
  }

  // 予測ステップ: 等速直線運動モデル (速度vは外部から与える)
  predict(dt, v = 0) {
    this.x += dt * v;           // 位置を更新
    this.P += this.Q;           // 不確かさが増加
  }

  // 更新ステップ: 観測値zで修正
  update(z) {
    const K = this.P / (this.P + this.R); // カルマンゲイン
    this.x += K * (z - this.x);           // 観測と予測の差を反映
    this.P = (1 - K) * this.P;            // 不確かさを減少
  }

  // 現在の状態を取得
  getState() {
    return { x: this.x, P: this.P };
  }
}

// 使用例: 真値=50、ノイズあり観測、Q=0.1, R=1.0
const kf = new KalmanFilter1D(0, 100, 0.1, 1.0);
const trueValue = 50;
for (let t = 0; t < 10; t++) {
  const observation = trueValue + (Math.random() - 0.5) * 2; // ノイズ±1
  kf.predict(1.0, 0);  // 等速モデル、速度0
  kf.update(observation);
  console.log(`t=${t}: 観測=${observation.toFixed(2)}, 推定=${kf.x.toFixed(2)}`);
}

動作の流れ:

初期状態 x=0、不確かさ P=100（全然わかってない）
予測で位置は変わらず、不確かさがQ分増える
観測が来たら、カルマンゲインKで「どの程度観測を信じるか」を計算
観測値と予測値の差 (z - x) にKをかけて補正
不確かさPが減少（情報が増えたから）

実際に動かすと: 最初の数ステップで推定値が真値50付近に収束。その後はノイズに振り回されず、滑らかに追従します。

数値例で確かめる：手計算で追う

具体的な数値を代入して、1ステップずつ計算してみましょう。

設定:

初期状態: $\hat{x}{0|0} = 0$ (m), $P{0|0} = 100$ (m²)
パラメータ: $Q = 0.1$ (m²), $R = 1.0$ (m²)
速度: $v = 0$ (停止状態を想定)
観測値: $z_1 = 49.3$ (m) （真値50mにノイズが乗った）

ステップ1: 予測

\hat{x}_{1|0} = 0 + 1 \cdot 0 = 0 \text{ m}

P_{1|0} = 100 + 0.1 = 100.1 \text{ m}^2

ステップ2: 更新

K_1 = \frac{100.1}{100.1 + 1.0} = \frac{100.1}{101.1} \approx 0.9901

\hat{x}_{1|1} = 0 + 0.9901 \times (49.3 - 0) \approx 48.81 \text{ m}

P_{1|1} = (1 - 0.9901) \times 100.1 \approx 0.991 \text{ m}^2

結果の解釈:

カルマンゲインが約0.99と非常に大きい → 観測をほぼそのまま信じる
理由: 初期の不確かさPが100と巨大で、観測ノイズR=1より圧倒的に大きいから
推定値は48.81mと、観測値49.3mに近い（まだ真値50mには届かず）

ステップ2（続き）: 次の観測 $z_2 = 51.2$ m

予測: $\hat{x}{2|1} = 48.81$, $P{2|1} = 0.991 + 0.1 = 1.091$
更新: $K_2 = \frac{1.091}{1.091 + 1.0} \approx 0.5217$
推定: $\hat{x}{2|2} = 48.81 + 0.5217 \times (51.2 - 48.81) \approx 50.06$ m
不確かさ: $P{2|2} = (1 - 0.5217) \times 1.091 \approx 0.522$ m²

注目ポイント:

2ステップ目でカルマンゲインが0.52に低下 → 予測と観測を半々で信用
推定値が50.06mと、ほぼ真値に収束
不確かさPが0.522まで減少 → 「だいたい0.7mくらいの精度でわかってる」状態

このように、時間とともにフィルターが「学習」し、適切なバランスを自動調整するのがカルマンフィルターの真骨頂です。

シミュレーターで遊ぶ：3つの実験

ここからは実際のシミュレーターで体感してください。
▶ カルマンフィルターシミュレーター （ブラウザで即動作、登録不要）

実験1: Rを極端に変えてみる

設定: Q=0.1固定、Rを0.1→10→100と変更
結果:
- R=0.1: 推定値（青線）が観測値（赤点）にピッタリ追従。ノイズもそのまま通す
- R=10: 推定値が滑らかに。観測のばらつきをうまく除去
- R=100: 推定値がほぼ直線に。観測をほとんど無視、予測モデルに支配される

なぜ？: Rが大きい = 「センサーは信用できない」と判断 → 予測モデルを重視 → 変化に鈍感になる

実験2: Qを極端に変えてみる

設定: R=1固定、Qを0.01→1→100と変更
結果:
- Q=0.01: 推定値がガチガチに固まる。急な変化に追従できない
- Q=1: 適度に柔軟。ノイズは除去しつつ変化には対応
- Q=100: 推定値が観測値にガクガク追従。ノイズをそのまま通す

なぜ？: Qが大きい = 「予測モデルは当てにならない」と判断 → 観測を重視 → ノイズに敏感になる

実験3: 「モデルが間違ってる」状況を作る

設定: 真値（緑線）が途中で急カーブするよう、シミュレーターの軌道を変更
条件A: Q=0.01, R=1 → 推定値が曲がり角で大遅れ、元の直線を信じ続ける
条件B: Q=10, R=1 → 曲がり角でも素早く追従、ただし平常時はややガタつく

実務の教訓: 「普段は滑らかに、でも急変には追従したい」というトレードオフ。Qを適度に大きく設定するのがコツ。

現場でハマるポイント：3つの落とし穴

1. 発散（Divergence）—— 最悪のシナリオ

シミュレーターで「Qを0.001、Rを0.01」に設定し、真値を急に曲げてみてください。推定値（青線）が真値（緑線）からどんどん離れ、二度と戻ってこなくなります。

原因: 不確かさPが小さくなりすぎ、「予測が正しい」と過信。新しい観測を無視し始める。一度外れると、Pが小さいせいで観測との差を「ノイズ」と誤認し、修正できなくなる。

対策:

Qに下限を設定（例：システムの想定最大加速度から計算）
適応的にQを調整する手法（Innovation Adaptive Estimation）を使う
定期的にPをリセットする仕組みを入れる

2. パラメータチューニングの難しさ

「Rはセンサーデータシートから決められるが、Qは決められない」——これが実務の現実です。

実践的なアプローチ:

まずRをデータシートの値に固定
Qを大きめに設定（想定最大誤差の2〜3倍）
シミュレーションで応答を確認しながらQを絞る
実機テストで微調整

3. 非線形システムへの対応

このシミュレーターは等速直線運動という線形モデル。しかし現実の多くは非線形（例：振り子の運動、車の旋回）。

拡張カルマンフィルター（EKF）：非線形関数をテイラー展開で線形近似
Unscented Kalman Filter（UKF）：シグマ点を使って確率分布を近似
Particle Filter：完全な非線形・非ガウスに対応（ただし計算コスト大）

教訓: 「まず線形で理解し、その後拡張する」のが王道。このシミュレーターで1次元の動作原理を完全に理解すれば、EKFやUKFへのステップアップは格段に楽になります。

まとめ：今日から使える3つのポイント

カルマンフィルターは「予測と観測の重み付け平均」 — その重み（カルマンゲインK）が自動最適化されるのが最大の強み
QとRのバランスが全て — Q大＝観測重視、R大＝予測重視。実務ではRを先に決め、Qをチューニング
1次元の理解が多次元への鍵 — 行列演算に拡張しても、本質は同じ。このシミュレーターで直感を鍛えよう

最後に: 理論だけ読んでも身につきません。以下のシミュレーターで、実際にスライダーを動かしながら「Qを上げたらどうなる？」「Rを下げたら？」を体感してください。

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