制御工学、難しそう…そう思ってます？

実はたった一つの複素平面上の曲線で、システムが「安定か」「どれだけ余裕があるか」が一目瞭然になる魔法のようなツールがあるんです。

それがナイキスト線図。

「え、ぐるぐる回るあのグラフ？何が嬉しいの？」と思ったあなた、今日から見方が変わります。

しかも今回は、ブラウザで動く無料シミュレーターを使って、手を動かしながら理解できる内容にしました。

「ぐるぐる」が教えてくれること

ナイキスト線図の核心、一言で言うとこうです。

「(-1, 0)という点を、軌跡がどう扱うかで安定性が決まる」

簡単な例えで考えてみましょう。

あなたが自転車に乗っているとします。ハンドルをちょっと切ったとき、自転車が「戻ろうとする力」が強すぎるとガタガタ振動しますよね。逆に弱すぎるとフラフラして倒れそうになる。

この「ちょうどいい塩梅」を数値で表したのがゲイン余裕と位相余裕なんです。

ナイキスト線図は、この「ちょうどよさ」を一目で判断できる診断チャートのようなもの。

それでは、実際の数式とコードを見ながら深掘りしていきましょう。

数式で理解する

今回のシミュレーターで扱う開ループ伝達関数はこちらです。

L(s) = G(s)H(s) = K \frac{(s + z)}{(s + a)(s + b)}

$K$: ゲイン（システム全体の増幅率）
$z$: 零点（分子をゼロにする点）
$a, b$: 極（分母をゼロにする点、システムの固有特性）

ここに $s = j\omega$（純虚数）を代入すると、周波数応答 $L(j\omega)$ が得られます。

そして、安定性を判定するためのナイキストの安定判別則がこちら。

Z = N + P

もしくは

Z = P - N

$P$: 開ループ伝達関数の右半平面にある極の数（実部が正の極）
$N$: ナイキスト軌跡が点 $(-1, 0)$ を反時計回りに囲む回数
$Z$: 閉ループ系の不安定極の数

閉ループが安定 $\Leftrightarrow Z=0$

今回のシミュレーターでは $a,b > 0$ なので極は $s = -a, -b$ にあり、すべて左半平面 → $P = 0$ です。

つまり、$N = 0$（(-1,0)を囲まない）なら安定というシンプルな判定ができるんです。

コードで実装する ★最重要★

シミュレーターのコアロジックをJavaScriptで再現してみましょう。ブラウザのコンソールでも動かせます。

/**
 * ナイキスト線図の計算と安定余裕の算出
 * 伝達関数: L(s) = K * (s + z) / ((s + a)(s + b))
 */
class NyquistCalculator {
    constructor(K, z, a, b) {
        this.K = K;  // ゲイン
        this.z = z;  // 零点
        this.a = a;  // 極1
        this.b = b;  // 極2
    }

    // 周波数応答 L(jω) を計算
    frequencyResponse(omega) {
        const jw = { re: 0, im: omega };
        // 分子: K * (jω + z)
        const numerator = {
            re: this.K * z,
            im: this.K * omega
        };
        // 分母: (jω + a)(jω + b)
        const denom1 = { re: a, im: omega };
        const denom2 = { re: b, im: omega };
        const denominator = {
            re: denom1.re * denom2.re - denom1.im * denom2.im,
            im: denom1.re * denom2.im + denom1.im * denom2.re
        };
        // 複素数の割り算
        const denomMag2 = denominator.re ** 2 + denominator.im ** 2;
        return {
            re: (numerator.re * denominator.re + numerator.im * denominator.im) / denomMag2,
            im: (numerator.im * denominator.re - numerator.re * denominator.im) / denomMag2
        };
    }

    // ゲイン交差周波数（|L(jω)| = 1 となるω）を探索
    findGainCrossover() {
        let omega = 0.1;
        for (let i = 0; i < 1000; i++) {
            const L = this.frequencyResponse(omega);
            const gain = Math.sqrt(L.re ** 2 + L.im ** 2);
            if (Math.abs(gain - 1) < 0.001) return omega;
            omega += 0.01;
        }
        return null;
    }

    // 位相交差周波数（∠L(jω) = -180° となるω）を探索
    findPhaseCrossover() {
        let omega = 0.1;
        for (let i = 0; i < 1000; i++) {
            const L = this.frequencyResponse(omega);
            const phase = Math.atan2(L.im, L.re) * 180 / Math.PI;
            if (Math.abs(phase + 180) < 1) return omega;
            omega += 0.01;
        }
        return null;
    }

    // ゲイン余裕 [dB] を計算
    gainMargin() {
        const omegaPc = this.findPhaseCrossover();
        if (!omegaPc) return Infinity;
        const L = this.frequencyResponse(omegaPc);
        const gain = Math.sqrt(L.re ** 2 + L.im ** 2);
        return 20 * Math.log10(1 / gain);
    }

    // 位相余裕 [deg] を計算
    phaseMargin() {
        const omegaGc = this.findGainCrossover();
        if (!omegaGc) return Infinity;
        const L = this.frequencyResponse(omegaGc);
        const phase = Math.atan2(L.im, L.re) * 180 / Math.PI;
        return 180 + phase;
    }
}

// 使用例: K=5, z=2, a=1, b=3
const sys = new NyquistCalculator(5, 2, 1, 3);
console.log(`ゲイン余裕: ${sys.gainMargin().toFixed(2)} dB`);
console.log(`位相余裕: ${sys.phaseMargin().toFixed(2)} deg`);

このコード、実はシミュレーターの計算をほぼそのまま再現しています。

ポイント:

周波数応答は複素数計算でゴリゴリ
ゲイン交差周波数と位相交差周波数は数値探索（シミュレーターも同じ方式）
ゲイン余裕 = $20\log_{10}(1/|L(j\omega_{pc})|)$
位相余裕 = $180^\circ + \angle L(j\omega_{gc})$

数値例で確かめる

具体的な値で計算してみましょう。

設定: $K = 5$, $z = 2$, $a = 1$, $b = 3$

ステップ1: 位相交差周波数 $\omega_{pc}$ を求める

コードで探索すると、$\omega_{pc} \approx 1.73$ [rad/s] と出ました。

このときの $L(j\omega_{pc})$ を計算:

L(j1.73) = 5 \cdot \frac{j1.73 + 2}{(j1.73 + 1)(j1.73 + 3)}

複素数計算の結果: $L(j1.73) \approx -0.33 + j0.00$

ステップ2: ゲイン余裕を計算

|L(j1.73)| = 0.33

GM = 20\log_{10}\left(\frac{1}{0.33}\right) = 20\log_{10}(3.03) \approx 9.63 \text{ [dB]}

ステップ3: ゲイン交差周波数 $\omega_{gc}$ を求める

コードで探索: $\omega_{gc} \approx 2.45$ [rad/s]

このときの位相:

\angle L(j2.45) \approx -144^\circ

ステップ4: 位相余裕を計算

PM = 180^\circ + (-144^\circ) = 36^\circ

結果:

ゲイン余裕: 9.63 dB（正 → 安定）
位相余裕: 36°（正 → 安定）

実際にシミュレーターで同じ値を入れてみてください。ピッタリ一致するはずです。

シミュレーターで遊ぶ（実験3連発）

実験1: ゲインKを限界まで上げる

初期値: K=1, z=2, a=1, b=3

スライダーをゆっくり右に動かしてみましょう。

K=5: 軌跡が(-1,0)に近づく（余裕減少）
K=10: ゲイン余裕がほぼ0に
K=15: 軌跡が(-1,0)を囲み始める → 不安定化！

なぜ？: Kを大きくすると軌跡が全体的に拡大。(-1,0)を囲む = 閉ループに不安定極が発生。

実験2: 零点zで位相を進める

設定: K=5, a=1, b=3 固定、zを変化

z=0.5: 位相余裕 15°（危険水域）
z=2: 位相余裕 36°（良好）
z=5: 位相余裕 52°（かなり余裕あり）

零点を左に動かすと位相が進み、位相余裕が改善します。

実験3: 3次系で不安定デモ

プリセットから 「K / ((s+a)(s+b)(s+a+b))（3次・不安定化デモ）」 を選択。

高次の系は低次より安定性が劣化しやすい。スライダーでKを上げると、あっという間に不安定に。

実務教訓: むやみに高次にすると制御が難しくなる。シンプルが一番。

現場でハマるポイント

1. 「(-1,0)を囲まなければ絶対安定」は嘘

これは開ループが安定（P=0）の場合だけの話。

倒立振子のように元々不安定なプラント（P>0）を制御する場合、囲まなくても閉ループが不安定になることがあります。

本シミュレーターはP=0固定なので、その点は注意。

2. ゲイン余裕・位相余裕は「目安」

現場では「GM > 10dB, PM > 45°」が一つの目安ですが、絶対ではない。

外乱が多い環境 → もっと余裕を
応答性重視 → 多少余裕を削る

トレードオフを理解した上で調整する必要があります。

3. ボード線図との対応を見逃すな

シミュレーター右側のボード線図、実はこれ同じ情報を別の形で表現しているだけ。

ボード線図の「ゲインが0dBになる周波数」の位相 → 位相余裕
ボード線図の「位相が-180°になる周波数」のゲイン → ゲイン余裕

両方の図を同時に見ながらパラメータ調整すると、理解が一気に深まります。

まとめ

ナイキスト線図は「(-1,0)をどう扱うか」で安定性を判定 — 囲めば不安定、囲まなければ安定（P=0の場合）
ゲイン余裕・位相余裕は「どれだけ安全域があるか」の指標 — コードで簡単に計算できる
シミュレーターで手を動かすのが最短ルート — 理論と実践のギャップを埋められる

制御工学、実は「ぐるぐる」を見るだけでかなりのことがわかります。

ぜひ今日から、このシミュレーターで遊びながらナイキスト線図をマスターしてください。

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