※私は法律の専門家ではないこと。こんなことを調べる人もすくないこと。この2点から情報が誤っている可能性に留意願います。

結論：まあ大丈夫やろ

育児記録に関しては最大手アプリ「ぴよログ」が『第11回キッズデザイン賞』を受賞している
親権の中の様々な権利の中に、育児記録も親の権利として内包されていそう
プライバシーの侵害を判定する3つの基準に該当しなさそう
微妙そうなところ

調査結果

「ぴよログ」大丈夫だから大丈夫理論

「ぴよログ」は授乳回数、眠った時間、おしっこ、うんちなど赤ちゃんに関するあらゆる情報を記録できるアプリです。

赤ちゃんの傾向をデータで把握できるという点がとても素晴らしいです。おかげさまで育児初心者だった私も「そろそろ起きる」「オムツだ」「おなか減ってるかも」「これは眠いやつ」と反応できるようになり育児を楽しんでいます。

「ぴよログ」はAndroidアプリのダウンロード数だけでも50万ダウンロードを超えています。
また、『第11回キッズデザイン賞』を受賞しています。（同コンテストで内閣総理大臣賞とかもあるので信頼度が高い賞と思われます）

そんなぴよログにはPDF形式で赤ちゃんのデータをエクスポートする機能が付いています。
赤ちゃんのデータを記録してもいいし、データを書き出してもいいよ。→書き出せるってことはいろんな風に利用してもいいってことじゃない？

よって、ぴよログが大丈夫だから大丈夫理論が生まれました。

親権の中の様々な権利の中に、親の権利として内包されていそう

例えば親権の中に「身上監護権」というものがあります。以下引用。

親権者が未成年の子の身体的・精神的な成長を図るために監護・教育を行う権利。民法では、子の居所を定めること、懲戒すること、職業を営むことを許可する権利を規定している。未成年後見人も被後見人である未成年者に対して親権者と同一の身上監護権を有する。→財産管理権

ぴよログをつけることで、例えばオムツ替えを忘れてしまってお尻が荒れるということがなくなったり、パパ、ママで2人でミルクを上げてしまって大量に吐き戻しが起きたということを防いでいます。

赤ちゃんのデータを記録したり分析することは、むしろ推奨されることですらありそうです。

プライバシーの侵害を判定する3つの基準に該当しなさそう

以下引用します。

プライバシー権侵害の判断基準
損害賠償請求が認められるプライバシー権侵害にあたるか否かの判断基準は、上記に示した私事性・秘匿性・非公知性のあるプライバシー情報を正当な理由なく公開・公表したか否かです。
私事性については、例えば、政治家や公務員の「公人」としての活動に関するものについては、「私事性」がありません。
秘匿性については、例えば、「ユリよりも桜が好き」といった、一般人の基準からして、他者に知られても心理的負担がないと思われるような事実は、「秘匿性」がありません。
非公知性については、すでに何らかの形で公となっている事実を再度公表した場合、「非公知性」がありません。

この秘匿性を満たしていない可能性があります。
赤ちゃんの頃、オムツを毎日4回変えていたというのをばらされて訴えられた話は聞いたことがありません。

また、名前や生年月日などの情報を用いず、単におしっこやうんちの情報だけで個人を特定できるとは考えにくいです。なので、適切に個人情報をマスクした上で利用すれば、親権の範囲内に収まるのでは？と推測しました。

微妙そうなところ

ものごころついて「つけないで」と言葉で言われた場合、親権の範囲に収まるのかわからないです。事例が見つかりませんでした。

うかつにデータを公開するのもやめておきましょう。

まとめ

将来子供が嫌がらない程度に分析するのはたぶんありです。

子供の意思が絡むとどうなるかわかりません。

分析だけでなく公開するとどういう判定かわかりません。

最後に

迷惑かと思いますが、後日ぴよログ問い合わせ窓口にどうして大丈夫なのか聞いてみたいと思います。