問題のポイント

・期待値の性質：$E[aX+b|C] = aE[X|C] + b$　・・・①

・$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$より、条件付き確率密度関数は、

f(z \mid z \geq c) = 
\begin{cases} 
\frac{f(z)}{P(z \geq c)} & (z \geq c) \\
0 & (z < c)
\end{cases}　・・・②

・条件付き期待値：$E[X|Y \geq c] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x \mid Y \geq c) dx$　・・・③

解法ノート

解答

条件付き期待値と標準化

テストの得点を$X$とすると、条件より、$X$は平均65、標準偏差10の正規分布に従います。

よって、標準化した$Z$は、$Z = \frac{X - 65}{10}$と表されます。

ここで求めたい平均は、$E[X|X \geq 65]$と表記でき、$X=65+10Z$なので、

E[X|X \geq 65] = E[ 65+10Z|　65+10Z \geq 65] = E[65+10Z|Z \geq 0]

です。ここで、式①から、

E[X|X \geq 65] =65 + 10 \times E[Z | Z \geq 0]

となります。

条件付き確率密度関数の導出

今回の問題の条件付き確率密度関数は、式②に$c=0$を代入して、

f(z \mid z \geq 0) = 
\begin{cases} 
\frac{f(z)}{P(z \geq 0)} & (z \geq 0) \\
0 & (z < 0)
\end{cases}

と表されます。

$Z$は標準正規分布に従うため、$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$です。

また、$z=0$が境界のとき、面積が半分ずつに分かれるため、$P(z \geq 0)= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \frac{1}{2}$です。

よって、

f(z \mid z \geq 0) = \frac{f(z)}{P(z \geq 0)}  =\frac{2}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}

となります。

求めたい平均の導出

ここで、式③から

E[Z \mid Z \geq 0] = \int_{0}^{\infty} z × f(z \mid z \geq 0) dz= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} z e^{-\frac{z^2}{2}} dz

と表されます。

ここで、置換積分$t = \frac{z^2}{2}$を行うと、$\frac{dt}{dz} = z$ より、$dz = \frac{1}{z}dt$です。また、積分範囲は、$z = 0$ のとき $t = 0$、$z → ∞$ のとき $t → ∞$ となります。

よって、

E[Z | Z ≥ 0] = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt =\sqrt{\frac{2}{\pi}}  \left[-e^{-t}\right]_{0}^{\infty} =\sqrt{\frac{2}{\pi}} \simeq 0.798

と求まるので、

E[X|X \geq 65] = 65 + 10 \times E[Z|Z \geq 0]=72.98

が導かれます。

参考）高校数学

置換積分の公式は以下となります。

\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du \quad (ただし、u = g(x))