以下の統計検定2級対策動画で用いられているスライドの一部です。

平均は同じなのに、何が違う？

ここに、2つのカフェの平日5日間のコーヒー販売数のデータがあります。

カフェA: 48杯, 50杯, 51杯, 52杯, 54杯
カフェB: 35杯, 45杯, 51杯, 60杯, 64杯

一見すると、カフェAは安定しているように見え、カフェBは日による差が大きいように見えます。
まず、このデータをグラフで見てみましょう。

データの可視化

1. 平均値を計算してみる

まず、両カフェの平均販売数を計算します。

カフェAの平均値
$$
\bar{x}_A = \frac{48 + 50 + 51 + 52 + 54}{5} = \frac{255}{5} = 51 \text{杯}
$$
カフェBの平均値
$$
\bar{x}_B = \frac{35 + 45 + 51 + 60 + 64}{5} = \frac{255}{5} = 51 \text{杯}
$$

驚くことに、両カフェの平均販売数は 全く同じ です。
平均値だけでは、データの「 ばらつき 」は分かりません。

2. ばらつきを数値化する：「偏差」

データのばらつきを測るための第一歩が「偏差」です。

偏差とは、個々のデータが平均値からどれだけ離れているかを示す値です。

$$
偏差 = 個々のデータの値 - 平均値
$$

この「偏差」を使って、各カフェのデータを見てみましょう。

偏差の計算例 (カフェA)

カフェAの平均値は 51 杯でした。

日	販売杯数(x)	偏差 (x - 51)
1	48	-3
2	50	-1
3	51	0
4	52	1
5	54	3
合計	255	0

偏差の計算例 (カフェB)

カフェBの平均値も同じく 51 杯でした。

日	販売杯数(x)	偏差 (x - 51)
1	35	-16
2	45	-6
3	51	0
4	60	9
5	64	13
合計	255	0

偏差の問題点

お気づきでしょうか？
偏差をすべて合計すると、プラスとマイナスが打ち消し合い、必ず0になってしまいます。

これでは、ばらつきの大きさを１つの指標として表すことができません。
この問題をどう解決すればよいでしょうか？

3. 解決策：「分散」

偏差の合計が0になる問題を解決するため、統計学ではシンプルな方法を取ります。

偏差を2乗する

値を2乗すれば、マイナスの値もプラスになり、合計が0になることはありません。
そして、 2乗した偏差の平均値 を計算します。

これが分散です。

分散の計算例 (カフェA)

偏差を2乗して、その合計と平均（分散）を求めます。

日	販売杯数(x)	偏差(x - 51)	偏差の2乗
1	48	-3	9
2	50	-1	1
3	51	0	0
4	52	1	1
5	54	3	9
合計	255	0	20

カフェAの分散
$$
V_A = \frac{20}{5} = 4
$$

分散の計算例 (カフェB)

同様に、カフェBの分散も計算します。

日	販売杯数(x)	偏差(x - 51)	偏差の2乗
1	35	-16	256
2	45	-6	36
3	51	0	0
4	60	9	81
5	64	13	169
合計	255	0	542

カフェBの分散

$$
V_B = \frac{542}{5} = 108.4
$$

分散の比較：結論

カフェAの分散: 4
カフェBの分散: 108.4

分散を比較すると、カフェBの方が圧倒的に数値が大きいことが分かります。
これは、カフェBの方が日々の販売数のばらつきが大きいことを示しています。

これで、ばらつきを客観的な数値で比較できました。

分散の課題

分散は便利な指標ですが、一つ欠点があります。

計算の過程で 2乗しているため、元のデータの単位も 2乗になってしまう。

今回の例で言えば、分散の単位は「杯」ではなく「 杯の2乗 」です。
これでは、値がどれくらいの大きさなのか、直感的に解釈しにくいです。

4. 解決策：「標準偏差」

分散の「単位が2乗になる」問題を解決するのが 標準偏差 です。

標準偏差 とは、分散の 正の平方根 をとったものです。

平方根を計算することで、単位を元のデータと同じに戻すことができます。

$$
\text{標準偏差} = \sqrt{\text{分散}}
$$

標準偏差の計算例

実際に、2つのカフェの標準偏差を計算してみましょう。

カフェAの標準偏差
$$
s_A = \sqrt{4} = 2 \text{ (杯)}
$$
カフェBの標準偏差
$$
s_B = \sqrt{108.4} \approx 10.41 \text{ (杯)}
$$

単位が「杯」に戻り、より直感的にばらつきの大きさを理解できるようになりました。

まとめ①：偏差

ここまでの内容を一般化して定義を確認しましょう。

偏差とは、個々のデータが平均値からどれだけ離れているかを示す値です。

計算式

偏差 = 個々のデータの値 - 平均値

特徴
- 平均より大きければ プラス 、小さければ マイナス
- 全ての偏差を合計すると 常に0 になる

まとめ②：分散

分散とは、偏差を2乗した値の平均値です。データのばらつきの大きさを表します。

計算式
- データ数を $n$、個々のデータを $x_i$、平均値を $\bar{x}$ とすると、分散 $V$ は...
  $$
  V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
  $$

まとめ③：標準偏差

標準偏差 とは、分散の正の平方根です。元のデータと単位が同じになり、解釈しやすくなります。

計算式
- 標準偏差 $s$ は...
  $$
  s = \sqrt{V} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
  $$

（補足）なぜ「n-1」で割る？

統計の教科書では、分散を $n$ ではなく $n-1$ で割る 不偏分散 が出てくることがあります。

分散（標本分散）: 分母が $n$
- 手元にあるデータ（標本） そのもの のばらつきを知りたい場合
不偏分散: 分母が $n-1$
- 手元にあるデータ（標本）から、その背景にある 大きな集団（母集団） のばらつきを推定したい場合

「全体を推測するときは補正が必要」と覚えておきましょう。

全体のまとめ

偏差
- 平均からの距離。合計は常に0。
分散
- 偏差を2乗して平均したもの。ばらつきの大きさを表す。
標準偏差
- 分散の平方根。単位が元に戻り、解釈しやすい。

平均値と合わせてこれらを確認することで、データをより深く理解できます。