以下の統計検定2級対策動画で用いられているスライドの一部です。

なぜ「平均」だけでは不十分？

データ分析では、まず平均値や標準偏差を見ることが多いです。
しかし、これらの指標が ほぼ同じ でも、データの分布形状が 全く異なる ことがあります。

データ群A: 左右対称のきれいな山形の分布
データ群B: 左に偏り、右に長く伸びる分布

分布の「形」を正しく理解することが、適切な分析と解釈の第一歩です。

今回学ぶこと

データ分布の 「形」 を数値で評価する2つの指標を学びます。

歪度（わいど）
- 分布の 非対称性 を測る指標
尖度（せんど）
- 分布の 尖り具合 と 裾の重さ を測る指標

具体例で見てみよう！

あるIT部門に所属する従業員8人の通勤時間データを使って、分布の形を調べてみましょう。

データ (分): [15, 20, 20, 25, 30, 35, 40, 95]

このデータをグラフにすると、どのようになるでしょうか？

通勤時間データの分布

Step 1: 分布の「非対称性」を測る

まず、この分布が左右対称なのか、どちらかに偏っているのかを数値で評価します。
この指標が 歪度（わいど） です。

歪度の計算 (1/3) : 平均と偏差

平均値 ($\bar{x}$) の計算
$\bar{x} = (15+20+20+25+30+35+40+95) \div 8 = 35$

歪度の計算 (1/3) : 平均と偏差

偏差 ($x_i - \bar{x}$) の計算
各データが平均からどれだけ離れているかを計算します。

通勤時間 ($x_i$)	偏差 ($x_i - \bar{x}$)	偏差の3乗 ($(x_i - \bar{x})^3$)
15	-20	-8000
20	-15	-3375
20	-15	-3375
25	-10	-1000
30	-5	-125
35	0	0
40	5	125
95	60	216000
合計	0	200250

歪度の計算 (2/3) : 分散と標準偏差

分散 ($s^2$) と標準偏差 ($s$) の計算
データの散らばり具合を計算します。
- 分散 $s^2 = \frac{4600}{8} = 575$
- 標準偏差 $s = \sqrt{575} \approx 23.98$

歪度の計算 (3/3) : 歪度の算出

3次のモーメントの計算
偏差の3乗の平均を求めます。
$200250 \div 8 = 25031.25$
歪度の計算
3次のモーメントを標準偏差の3乗で割ります。
$歪度 = \frac{25031.25}{23.98^3} \approx 1.81$

歪度の結果と解釈

計算結果は 歪度 $\approx$ 1.81 となりました。

歪度 > 0 なので、これは 「正の歪み」 を持つ分布であることを示します。
グラフで言うと、中心が左に寄り、右側に裾が長く伸びている 状態です。
今回のデータでは、95分という外れ値が分布全体を右に引っ張っていることが原因です。

Step 2: 分布の「尖り具合」を測る

次に、分布の山の「尖り具合」と「裾の重さ」を評価します。
この指標が 尖度（せんど） です。

尖度の計算 (1/2) : 偏差の4乗

尖度の計算には 偏差の4乗 を使います。
4乗することで、平均から遠い値（外れ値）の影響がさらに強調されます。

通勤時間 ($x_i$)	偏差 ($x_i - \bar{x}$)	偏差の4乗 ($(x_i - \bar{x})^4$)
15	-20	160000
20	-15	50625
...	...	...
95	60	12960000
合計	0	13232500

尖度の計算 (2/2) : 尖度の算出

4次のモーメントの計算
偏差の4乗の平均を求めます。
$13232500 \div 8 = 1654062.5$
尖度の計算
4次のモーメントを分散の2乗で割ります。
$尖度 = \frac{1654062.5}{575^2} \approx 5.00$

尖度の結果と解釈

計算結果は 尖度 $\approx$ 5.00 となりました。

尖度は、正規分布の尖度である 3 を基準に評価します。
5.00 > 3 なので、これは 「急尖（きゅうせん）」 な分布であることを示します。
つまり、正規分布よりも 頂点が鋭く尖り、裾が重い（外れ値の影響が大きい） 分布です。

一般化と定義：歪度とは？

ここまでの内容を一般化します。

歪度は、データ分布の 非対称性の度合い を示す指標です。

歪度 > 0 (正の歪み)
- 右側に裾が長く伸びる分布。平均値 > 中央値。
歪度 = 0 (歪みなし)
- 完全に左右対称な分布（例：正規分布）。平均値 = 中央値。
歪度 < 0 (負の歪み)
- 左側に裾が長く伸びる分布。平均値 < 中央値。

歪度の公式

歪度は、偏差の3乗の平均（3次のモーメント）を、標準偏差の3乗で割って算出します。

$$
歪度 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^3}{s^3}
$$

偏差の3乗 を計算するため、平均から大きく離れた値（外れ値）があると、その影響が強く反映されます。

一般化と定義：尖度とは？

尖度は、データ分布の 「尖り具合」と「裾の重さ」 を示す指標です。

尖度 > 3 (急尖)
- 正規分布より鋭く尖った分布。裾が重い（外れ値が多い）。
尖度 = 3 (中尖)
- 正規分布と同じ程度の尖り具合。
尖度 < 3 (緩尖)
- 正規分布より平坦な分布。データが広範囲に散らばる。

尖度の公式

尖度は、偏差の4乗の平均（4次のモーメント）を、標準偏差の4乗（分散の2乗）で割って算出します。

$$
尖度 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^4}{s^4}
$$

偏差の4乗 を計算するため、外れ値の存在を歪度よりもさらに鋭敏に捉えることができます。

まとめ

平均値や分散だけでは、分布の「形」はわからない。
歪度は分布の 非対称性 を示す。
尖度は分布の 尖り具合 と 裾の重さ を示す。

これらの指標をヒストグラムと合わせて確認することで、
データへの理解が深まり、より確かな分析へと繋がります。