学習のポイント

・確率変数列${X_n}$が確率変数$Y$に確率収束する：

$$
任意のε > 0に対して、\lim_{n \to \infty} P(|X_n - Y| > \epsilon) = 0
$$

・大数の弱法則：
確率変数列$ {X_n} $は独立同一分布に従い、その平均と分散がそれぞれ $E[X_n] = µ$ と $V[X_n] = σ²$ であるとする。このとき、$X_1, …, X_n$ の標本平均

$$
\bar{X_n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
$$

は $n → ∞$ のもとで $µ$ に確率収束する。

・連続写像定理：
確率変数の列 ${X_n}$ が確率変数$ Y$ に確率収束し、関数$ h$ が実数全体で連続であるとき、確率変数の列 ${h(X_n)}$ は確率変数$ h(Y)$ に確率収束する。

解法ノート

標本平均の関数の確率収束

大数の弱法則

$X_1, X_2, ..., X_n $は独立に区間$[0, 1]$上の一様分布に従う確率変数です。つまり、各$X_i$は互いに独立であり、$0$から$1$の間の任意の値をとる確率が等しいということです。

区間$[0, 1]$上の一様分布の期待値は、
$$
μ=E[X_n] = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}
$$

です。

大数の弱法則より、標本平均 $\bar{X_n} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ は、$n$が大きくなるにつれて $μ=\frac{1}{2}$ に確率収束します。

連続写像定理

次に、連続写像定理を適用します。この問題では、$\bar{X_n}$ が $\frac{1}{2}$ に確率収束することがわかりました。ここで、$h(x) = √x$ という連続関数を考えます。$\bar{X_n} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ を $h(x)$ に代入すると、
$$
Z_n=h(\bar{X_n}) =√( \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} )
$$

です。

ここで、$Z_n$は、連続写像定理より$Y=h\left(\frac{1}{2}\right)$に確率収束します。$Y=h\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のため、$Z_n$は、$\frac{1}{\sqrt{2}}$に確率収束します。

コラム

各用語の数式を日本語化すると以下のような意味となります。
・確率収束：$n$ が大きくなるにつれて、$X_n$ と$X$の差が$ϵ$ より大きくなる確率が 0 に近づく
・平均二乗収束：$X_n$ と$X$ の差の二乗の期待値（平均）が$0$ に近づく
・大数の弱法則：標本平均は、標本数を増やすと、真の平均（母平均）に確率収束する。
・中心極限定理：独立同分布に従う確率変数列の標本平均の標準化されたものは、標本数を増やすと、標準正規分布に法則収束（分布収束）する。