統計検定準1級の勉強のための解説記事となります。下記にご了承いただける方のみ、お読みください。
以下の動画でも解説していますので、見やすいほうでご覧ください。
学習のポイント
確率変数の列${X_n}$ は平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の独立同一分布に従うと仮定する。また、$X_1, X_2, ..., X_n$ の標本平均を $\bar{X}_n$ とする。
・中心極限定理
$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)$は、正規分布 $N(0, \sigma^2)$ に分布収束する。
・デルタ法
ある関数 $f$ を用いて $f(\bar{X}_n)$ と表される量を考える。$f(x)$ が連続微分可能のとき、$\sqrt{n}(f(\bar{X}_n) - f(\mu))$ は $N(0, (f'(\mu))^2 \sigma^2)$ に分布収束する。
・確率関数のグラフの変化（中心極限定理）
・累積分布関数のグラフの変化（中心極限定理）
解法ノート
解答
確率変数列 $X_n$ は、平均 $\mu$, 分散 $\sigma^2$ の独立同一分布に従います。
| 標本サイズ$n$ | 標本サイズ $n=1$ の場合 | 標本サイズ $n=2$ の場合 | ... | 標本サイズ $n$ の場合 |
|---|---|---|---|---|
| 標本平均：$\bar{X}_n$ | $\bar{X}_1 = \frac{X_1}{1}$ | $\bar{X}_2 = \frac{X_1+X_2}{2}$ | ... | $\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ |
| 中心極限定理：$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$ | $\sqrt{1}(\frac{X_1}{1} - \mu)$ | $\sqrt{2}(\frac{X_1+X_2}{2} - \mu)$ | ... | $\sqrt{n}( \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} - \mu)$ |
$f(x) = x^2$ とおき、デルタ法を適用します。
ここで、$f(\bar{X}_n) = \bar{X}_n^2$, $f(\mu) = \mu^2$, $f'(\mu) = 2\mu$ となるため、
$$
\sqrt{n}(\bar{X}_n^2 - \mu^2) \xrightarrow{d} N(0, (2\mu)^2 \sigma^2)
$$
です。
したがって、$\mu \neq 0$ のとき、$\sqrt{n}(\bar{X}_n^2 - \mu^2)$ の分布収束先は $N(0, (2\mu)^2 \sigma^2)$ です。
| 標本サイズ$n$ | 標本サイズ $n=1$ の場合 | 標本サイズ $n=2$ の場合 | ... | 標本サイズ $n$ の場合 |
|---|---|---|---|---|
| 標本平均：$\bar{X}_n$ | $\bar{X}_1 = \frac{X_1}{1}$ | $\bar{X}_2 = \frac{X_1+X_2}{2}$ | ... | $\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ |
| デルタ法適用：$\sqrt{n}(\bar{X}_n^2 - \mu^2) \xrightarrow{d} N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ | $\sqrt{1}((\frac{X_1}{1})^2 - \mu^2)$ | $\sqrt{2}((\frac{X_1+X_2}{2})^2 - \mu^2)$ | ... | $\sqrt{n}((\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n})^2 - \mu^2)$ |
コラム
標本平均の標準化
標本平均 $\bar{X}_n$ を標準化した確率変数 $Z_n$ は以下のようになります。
$$Z_n = \frac{\bar{X}_n - E(\bar{X}_n)}{\sqrt{Var(\bar{X}_n)}} = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma}$$