##この記事での表記法
m: examplesの数
n: featuresの数
y: Vector of Actual Values
X: Matrix of Features
θ: Vector of Parameters

y =
\begin{pmatrix}
y^{(1)}\\
y^{(2)}\\
.\\
.\\
y^{(m)}\\

\end{pmatrix}

X=
\begin{pmatrix}
X^{(1)}_1\ & X^{(1)}_2 \ & .... \ &  X^{(1)}_n \\
X^{(2)}_1\ & X^{(2)}_2 \ & .... \ &  X^{(2)}_n \\
.\ & .\ & .... \ &  . \\
.\ & .\ & .... \ &  . \\
X^{(m)}_1\ & X^{(m)}_2 \ & .... \ &  X^{(m)}_n \\

\end{pmatrix}

\theta=
\begin{pmatrix}
θ_1\\ θ_2\\ θ_3\\ .\\.\\. \\ θ_n

\end{pmatrix}

とする。

以降、線形回帰（Liner Regression）を例に機械学習の大まかな流れを記述していく。

1.TrainingSetを使ってモデルを作る

1-1 とりあえずモデル[仮説hθ(x)]を作る

$ h\theta \left( x\right) =\ \theta X=\theta_{0}x_{0}+\theta_{1}x_{1}+\ldots +\theta_{n}x_{n} $
$ ※x_{0}=1 $

h\theta\left( x\right) =
\begin{pmatrix}
h\theta\left( x^{(1)}\right)\\
h\theta\left( x^{(2)}\right)\\
.\\
.\\
h\theta\left( x^{(m)}\right)\\

\end{pmatrix}

##1-2 CostFunction J(θ)[仮説の値と実際の値の誤差を算出する関数]を作る
J(θ)=[仮説hθ(x)により算出された値と実際の値yとの平均二乗誤差 (Liner Regressionの場合)]
$J\left( \theta \right) =\dfrac {1}{2m}\sum ^{m}_{i=1}\left( h\theta \left( x^{(i)}\right) -y^{(i)}\right) ^{2}$

##1-3 CostFunction J(θ)[誤差]が最小になるθを見つける
例.Batch Gradient Descent
Repeat{
$\theta _{j}:=\theta _{j}-\alpha \dfrac {\partial }{\partial \theta _{j}}J\left( \theta \right)$
(simultaneously update for every j=0...n)
}

J(θ)が収束する（$\dfrac {\partial }{\partial \theta _{j}}J\left( \theta \right)$＝０になる[極小値をとる]）までθを変化させ続けることで、
CostFunction J(θ)[誤差]がおおよそ最小になるθを見つける。
→hθ(x)を正確にする。

#2 モデルの正確性を新しいDateSet[CrossValidationSet]を用いて検証
##IF モデルが単純すぎると・・・・・
モデルがデータの特徴（分布）を捉えきれていないためUnderfit（high bias）が起こる。
この場合、モデルが単純すぎてデータの特徴を捉えられないところに問題があるため、データを増やしたところで、モデル自体の構造を変えない限り結局問題の解決にはならない。

#####解決策：単純すぎるモデルを複雑にする
・使うfeaturesを増やしてみる。
・polynomial features を作ってみる。

##IF モデルが複雑すぎると・・・・・
TrainigSetにおけるデータにはモデルが綺麗にフィットする。しかし、それは言い換えればフィットしすぎていることでもあり、新しいデータセットにモデルがフィットしない事態が起こる。つまり、Overfit(high varience)はモデルが複雑すぎるゆえに、トレーニングデータセットの特徴を捉えすぎるため起こる。

#####解決策：モデルの複雑性を減らす or データを増やす。
・smaller sets of features