中身のないprime.txtを別途用意してください。
prime.py
import math
num = 3 #探索を開始する数
prime = [2] #素数に２を追加
prm_cnt = 1 #発見した素数をカウントする変数
pfile = 'prime.txt' #発見した素数を書き込むファイル

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#Function Description: 前回実施した素数リストのファイル読込関数
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def load_prime():
    global prm_cnt
    global prime
    global num
    
    file_data = open(pfile, "r")#ファイル読み込み
    print("!! load start !!\n")
    for line in file_data:
        prime.append(int(line))
    num = int(line)
    print("!! load end !!\n")
    file_data.close()
    prm_cnt = len(prime)

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#Function Description: 素数を発見したらフラグを立てる関数
#Arg1:　素数か判定する数　これまで出現してきた素数で割って余りが出ないかチェック
#Arg2:　これまでに発見された素数の数
#Arg3:　素数のリスト　関数外から参照可能
#Return: 素数判定FLAG
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def prime_func(num ,prm_lp, prm ):
    cnt = 0
    ret = "FALSE"
    for j in range(0,prm_lp):
        rem = num % prm[j]
        if rem == 0:
            cnt = 1#FALSE
            break
    if cnt == 0:
            prm_lp = prm_lp + 1#新しい素数をカウント、次の素数発見のための割り算回数が１増える
            prm.append(num)#新しい素数をリストに追加
            ret = "TRUE"
    return ret

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#Function Description: 素数探索
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def calc_prime():
    global prime
    global prm_cnt
    global num
    pfile = 'prime.txt'
    E_OK = "TRUE"

    out_file = open(pfile,'a')
    while 1 :
        ret = prime_func(
                num,      #素数か判定する数
                prm_cnt,  #素数の発生した数
                prime     #素数のリスト
            )
        if E_OK == ret: #素数発見
            print(str(prime[len(prime)-1]) )
            prm_cnt = prm_cnt + 1
            out_file.write(str(num) + "\n")
        num = num + 2 #奇数の中にしか素数はないため2ずつ探索
     out_file.close()

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#Function Description: main関数
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def Main():
    load_prime()
    calc_prime()

if __name__=="__main__":
    Main()