作成したコード：

const $ = (() => {
    if (typeof jQuery === "undefined") {
        return {};
    }
    return jQuery;
})();

$.ajax =
    $.ajax ??
    (async (url, options) => {
        if (typeof url === "object") {
            options = url;
            url = undefined;
        }

        const controller = new AbortController();
        const timeoutId = window.setTimeout(
            controller.abort.bind(controller),
            options.timeout ?? 10000
        );

        const fetchOption = {
            method: options.type ?? "GET",
            cache: options.cache ? "default" : "no-cache",
            credentials: "same-origin",
            redirect: "follow",
            referrerPolicy: "no-referrer",
            signal: controller.signal,
        };

        if (options.type === "POST" && options.data !== undefined) {
            const postData = new FormData();

            Object.entries(options.data).forEach(([key, value]) => {
                if (value === undefined) {
                    return;
                }
                postData.set(key, value);
            });

            fetchOption.body = postData;
        }

        return window
            .fetch(url ?? options.url ?? "", fetchOption)
            .then((response) => {
                if (response.ok === false) {
                    console.error(response);
                    throw new Error(response.statusText);
                }
                window.clearTimeout(timeoutId);
                return response.json();
            })
            .catch((error) => {
                console.error(error);
                throw new Error(error);
            });
    });

以上のポリフィルを読み込むことで、jQuery を使わずとも、以下のような構文を利用できます。

$.ajax({
    url: "https://ajax.example.org/posts",
    type: "POST",
    cache: false,
    timeout: 5000,
    data: {
        groupID: 15,
        userID: 1992,
    }
})
    .then((result) => {
        console.log(result);
    })
    .catch((err) => {
        console.error(err);
    });

ただし、done と fail は使えません。
どう書けば使えるようになるのか見当もつきません。

// 以下は jQuery なしの場合エラーとなる。
$.ajax({
    url: "https://ajax.example.org/posts",
    type: "POST",
    cache: false,
    timeout: 5000,
    data: {
        groupID: 15,
        userID: 1992,
    }
})
    .done((result) => {
        console.log(result);
    })
    .fail((err) => {
        console.error(err);
    });

ie11 終了に伴い、jQuery を読み込まないことに決めたため、以上のポリフィルを作りました。モダンブラウザのみに対応させればよいということにしたため、fetchAPI や null 合体演算子（??）を利用しています。そのため古いブラウザでは動きません。

本当はもっと多くの引数・処理が存在するようですので、正直ポリフィルとは言えないと思います。自分が使う機能をやっつけ仕事で記述しました。もっと良い方法があったら教えてください。