結論

rest_api_ini フィルタを使おう。
ついでに勝手に使われるといけないので以下のフィルタを使って、認証処理も実装しましょう。

determine_current_user
rest_authentication_errors

作成するエンドポイント

https://ブログドメイン/wp-json/myapi/v1/helloWorld

コード

完成系

// 使いたいAPIの中身を書こう
function helloWorld()
{
  echo 'Hello World!';
}

// 自作のAPIを作る
add_action('rest_api_init', function () {
    register_rest_route('myapi/v1', '/hello', array(
        'methods' => 'GET',
        'callback' => 'helloWorld',
        'permission_callback' => function () {
            return current_user_can('read'); // 認証が必要
        },
    ));
});

// ユーザ認証を行う
add_filter('determine_current_user', function ($user_id) {
    // 認証情報を取得
    if (!empty($_SERVER['PHP_AUTH_USER']) && !empty($_SERVER['PHP_AUTH_PW'])) {
        $username = sanitize_user($_SERVER['PHP_AUTH_USER']);
        $password = $_SERVER['PHP_AUTH_PW'];

        // ユーザーの認証を行う
        $user = wp_authenticate($username, $password);
        if (is_wp_error($user)) {
            return null;
        }

        return $user->ID;
    }

    return $user_id;
}, 20);

// ユーザ認証の成功判定
add_filter('rest_authentication_errors', function ($result) {
    if (!empty($result)) {
        return $result;
    }

    if (!is_user_logged_in()) {
        return new WP_Error('REST APIを使うための認証ができませんでした', 'You are not currently logged in.', array('status' => 401));
    }

    return $result;
});