こんにちは！
本日は１次検定の問題２に出やすい「複素関数と主値」の対策を行います．
オイラーの公式
複素解析を学ぶ上で避けて通れないのがオイラーの公式です．zを複素数とすると，
e^{iz} = \cos z + i \sin z
が成り立ちます．
それぞれの項のマクローリン展開を考えると，
e^{ix} = \frac{i^0}{0!}x^0 + \frac{i^1}{1!}x^1 + \frac{i^2}{2!}x^2 + \frac{i^3}{3!}x^3 + ... = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!}x^n
\cos x = \frac{i^0}{0!}x^0 + \frac{i^2}{2!}x^2 + ... = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n}
i \sin x = \frac{i^1}{1!}x^1 + \frac{i^3}{3!}x^3 + ... = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1}
となるので，xをzと置き換えることでオイラーの公式が導かれます．
また，z → -zとした式
e^{-iz} = \cos (-z) + i \sin (-z) = \cos z - i \sin z
を考え，元の式との和や差を取ることで
\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
と表せることがかなり重要です．
複素数の指数関数と対数関数
さて，ここからは指数や対数に複素数zが絡む場合を考えてみます．
zが実数の範囲(特に0から2πといったラジアン単位)であれば高校数学で履修済みですが，数検１級や大学数学では複素数に拡張されるため，ここでz=x+iyとおいて考えてみましょう(x,yは実数)．
e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i \sin y)
このように複素数の指数関数を表すことができます．
高校数学Cで履修済みの極形式(rは絶対値，θは偏角)
r (\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta}
と見比べると，複素数の指数関数ではyが偏角の役割をしていますね．
ところで，三角関数sinやcosは周期が2πなので，必然的に複素数の指数関数も同じ値になるタイミングがあります．kを整数とすると，
e^{x+i(y+2k\pi)} = e^x (\cos (y+2k\pi) + i \sin (y+2k\pi))
となるので，
e^z = e^{z+2k\pi i}
が成り立ち，指数関数の周期が2πiであることがわかりました．
これらを利用していよいよ対数の計算に入りましょう．まずは
z = \log (1+i)
の値について考えます．すなわち，
e^z = 1+i = \sqrt{2} e^{\frac{\pi i}{4}} = e^{\log\sqrt{2}}e^{\frac{\pi i}{4}+2k\pi i} = e^{\log\sqrt{2}+(\frac{\pi}{4}+2k\pi) i}
をzについて解けば良いので，指数部分の比較により
z = \frac{\log2}{2}+(\frac{\pi}{4}+2k\pi) i
となり，kは任意の整数なのでlog(1+i)には無限個の解があることになります(多価関数)．
そこでしばしば用いられるのが主値(principal value)です．
今回は偏角(arg z)に整数kが含まれているため，このkを一意に定めましょう．偏角の範囲を
-\pi < \arg(z) \leq \pi
とすると，k=0に限られるので，log(1+i)の主値は
\log (1+i) = \frac{\log2}{2}+\frac{\pi}{4} i
となります．なお，しばしば主値となる対数をLog(z)，その時の偏角をArg(z)のように先頭を大文字アルファベットとして表すことが多いです．
練習問題
１．以下の式を満たす複素数zのうち，純虚数であるものを全て求めなさい．
\cos z = 4
２．次の主値を求めなさい．
i^i
３．zの３次方程式
z^3+2z^2+2z+1 = 0
の３つの解を
\alpha, \beta, \gamma
とするとき，
\alpha^{465} + \beta^{465} + \gamma^{465}
の値を求めなさい．
余談
オイラーの公式のzにπを代入した式
e^{i\pi} = -1
の-1を左辺に移項した式である
e^{i\pi} + 1 = 0
はオイラーの等式と呼ばれ，加法の単位元0，乗法の単位元1，幾何学のπ，解析学のe，代数学のiが単純な式で結びついていることから「世界一美しい等式」などと言われています．
過去に数学検定５段１次でこの式についてA4用紙10枚以内で説明する問題が出ていました．
https://web.archive.org/web/20090124163245/http://www.suken.net/what/dani06-07.pdf
※現在，数検の段位の試験は行われておりません