こんにちは！
今回は１次検定の問題６に出やすい「行列式」の対策を行います．
行列式の基本演算
行列式は正方行列のみに対して定義されます．例えば2次正方行列A，3次正方行列Bが
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} \; \; a_{12} \\
a_{21} \; \; a_{22}
\end{pmatrix}, \; \;
B =
\begin{pmatrix}
b_{11} \; \; b_{12} \; \; b_{13} \\
b_{21} \; \; b_{22} \; \; b_{23} \\
b_{31} \; \; b_{32} \; \; b_{33}
\end{pmatrix}
と表されるとき，Aの行列式は以下のように
\det(A) =
\begin{vmatrix}
a_{11} \; \; a_{12} \\
a_{21} \; \; a_{22}
\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
(左上から右下に向かって掛け算したもの) - (右上から左下に向かって掛け算したもの)
のスカラー量として表されます．
Bの行列式も同様に3つの数を組み合わせていくことで
\det(B) =
\begin{vmatrix}
b_{11} \; \; b_{12} \; \; b_{13} \\
b_{21} \; \; b_{22} \; \; b_{23} \\
b_{31} \; \; b_{32} \; \; b_{33}
\end{vmatrix} = b_{11}b_{22}b_{33} + b_{12}b_{23}b_{31} + b_{13}b_{21}b_{32} - b_{13}b_{22}b_{31} - b_{23}b_{32}b_{11} - b_{33}b_{12}b_{21}
と求められます．このような求め方をサラスの方法やサラスの公式などと呼びます．
４次以上の行列に対してサラスの方法を使うことはできません．というのも，一般にn文字に対する順列はn!通りあるため，3次では6個の項，4次では24個の項，5次では120個の項が現れることになり，サラスの方法では全ての組み合わせを網羅できないためです．(参考：https://takun-physics.net/12259/)
流石に数検１級本番を想定した手計算で大量の項を処理するのは非現実的なため，次節以降に示す公式の適切な利用が不可欠です．
行列の基本変形
(念のため)行は横並びの要素，列は縦並びの要素を表します．
行列式の計算では，以下の３つのルールを確実に押さえておきましょう．
※行基本変形を元に説明しますが，列基本変形も同様です
①ある行のスカラー倍(c倍)を別の行に加える変形をしても行列式の値は変わらない．
\begin{vmatrix}
b_{11} \; \; b_{12} \; \; b_{13} \\
b_{21} \; \; b_{22} \; \; b_{23} \\
b_{31} \; \; b_{32} \; \; b_{33}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
b_{11} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b_{12} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b_{13} \\
cb_{11} + b_{21} \; \; cb_{12} + b_{22} \; \; cb_{13} + b_{23} \\
b_{31} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b_{32} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b_{33}
\end{vmatrix}
②ある行と別の行を入れ替える変形を行うと，行列式の値は-1倍になる．
\begin{vmatrix}
b_{11} \; \; b_{12} \; \; b_{13} \\
b_{21} \; \; b_{22} \; \; b_{23} \\
b_{31} \; \; b_{32} \; \; b_{33}
\end{vmatrix} = -
\begin{vmatrix}
b_{31} \; \; b_{32} \; \; b_{33} \\
b_{21} \; \; b_{22} \; \; b_{23} \\
b_{11} \; \; b_{12} \; \; b_{13}
\end{vmatrix}
③ある行をc倍(c≠0)する変形を行うと，行列式の値はc倍になる．
\begin{vmatrix}
b_{11} \; \; \; b_{12} \; \; \; b_{13} \\
b_{21} \; \; \; b_{22} \; \; \; b_{23} \\
cb_{31} \; \; cb_{32} \; \; cb_{33}
\end{vmatrix} = c
\begin{vmatrix}
b_{11} \; \; b_{12} \; \; b_{13} \\
b_{21} \; \; b_{22} \; \; b_{23} \\
b_{31} \; \; b_{32} \; \; b_{33}
\end{vmatrix}
余因子展開
前節で示した３つのルールと同じくらい重要なのが余因子展開です．余因子展開を用いることで正方行列のサイズを小さくすることができます．
例えば行列式Bを第１行で展開するならば，
\begin{vmatrix}
b_{11} \; \; b_{12} \; \; b_{13} \\
b_{21} \; \; b_{22} \; \; b_{23} \\
b_{31} \; \; b_{32} \; \; b_{33}
\end{vmatrix} = b_{11}
\begin{vmatrix}
b_{22} \; \; b_{23} \\
b_{32} \; \; b_{33}
\end{vmatrix} - b_{12}
\begin{vmatrix}
b_{21} \; \; b_{23} \\
b_{31} \; \; b_{33}
\end{vmatrix} + b_{13}
\begin{vmatrix}
b_{21} \; \; b_{22} \\
b_{31} \; \; b_{32}
\end{vmatrix}
となります．ここで注意するべきは以下の２点です．
・m行n列の成分で展開するとき，m+nが偶数なら＋1，奇数ならー1が係数となる
・小行列式はm行とn列が取り除かれた成分のみで構成される
ここまで見るだけではそれぞれのメリットがわかりにくいかもしれません．実際に例題を用いてその有効性を確認しましょう．
例題
次の行列式を計算しなさい．
\begin{vmatrix}
1 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 1 \\
3 \; \; \; 1 \; \; {-1} \; {-2} \\
1 \; \; \; {-1} \; \; \; 1 \; \; \; \; 1 \\
2 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 3 \\
\end{vmatrix}
基本方針として，行または列基本変形を用いて0をたくさん作ることがポイントです．
今回は第３行が単純な値なので，列基本変形の①で2〜4列目を0にしてしまいましょう．
\begin{vmatrix}
1 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 1 \\
3 \; \; \; 1 \; \; {-1} \; {-2} \\
1 \; \; \; {-1} \; \; \; 1 \; \; \; \; 1 \\
2 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 3 \\
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 0 \\
3 \; \; \; 4 \; \; {-4} \; {-5} \\
1 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 0 \\
2 \; \; \; \; 5 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 1 \\
\end{vmatrix}
これで第３行がスッキリしましたね．続いて第３行で余因子展開を行いますが，2〜4列目は既に0のため，3行1列成分に対する係数と小行列式だけでよく，簡潔に求まります．
\begin{vmatrix}
1 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 0 \\
3 \; \; \; 4 \; \; {-4} \; {-5} \\
1 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 0 \\
2 \; \; \; \; 5 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 1 \\
\end{vmatrix} = +1
\begin{vmatrix}
3 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 0 \\
4 \; \; {-4} \; {-5} \\
5 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 1 \\
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
3 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 0 \\
4 \; \; {-4} \; {-5} \\
5 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 1 \\
\end{vmatrix}
ここからサラスの方法で計算しても良いですが，せっかくなのでもう一段階小さくしてみましょう．行基本変形により，2行3列成分を0にして3行3列で余因子展開すると，
\begin{vmatrix}
3 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 0 \\
4 \; \; {-4} \; {-5} \\
5 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 1 \\
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
3 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 0 \\
29 \; {-4} \; \; 0 \\
5 \; \; \; \; 0 \; \; \; \; 1 \\
\end{vmatrix} = +1
\begin{vmatrix}
3 \; \; \; \; 2 \\
29 \; {-4} \\
\end{vmatrix} = -12 - 58 = -70
となり，行列式の値は-70と求められました．
行列式の特別な公式
数検１級に頻出の公式を紹介します．もはや2〜3回に1回は出ていると言っても過言ではありません．
主に４次正方行列で頻出の公式
行列のブロックをA,B(ともに偶数次の正方行列)とするとき，以下の関係が成り立ちます．
\begin{vmatrix}
A \; \; B \\
B \; \; A
\end{vmatrix} = |A+B||A-B|,
\begin{vmatrix}
A \; \; {-B} \\
B \; \; \; \; A
\end{vmatrix} = |A+iB||A-iB|
左側の公式を用いる場面が特に多いです．問題文の形から即座に適用できる場合もあれば，行や列の入れ替えを何度か行うことでこの公式に変形できる問題もあります．練習問題に１問載せているのでぜひチャレンジしてみてください．
零行列ブロックがある時の公式
Oを零行列ブロックとします．以下の公式でA,B,C,Oは正方行列でなくても構いません．
\begin{vmatrix}
A \; \; C \\
O \; \; B
\end{vmatrix} = |A||B|,
\begin{vmatrix}
A \; \; O \\
C \; \; B
\end{vmatrix} = |A||B|
次のような行列式を求めたい時に効果を発揮します．
\begin{vmatrix}
2 \; \; \; 7 \; \; \; 6 \; \; {-85} \; \; {-42} \\
9 \; \; \; 5 \; \; \; 1 \; \; {-26} \; \; \; 650 \\
4 \; \; \; 3 \; \; \; 8 \; \; \; {-99} \; \; \; 411 \\
0 \; \; \; 0 \; \; \; 0 \; \; \; {-2} \; \; \; \; {-3} \\
0 \; \; \; 0 \; \; \; 0 \; \; \; {-4} \; \; \; {-1} \\
\end{vmatrix}
ぜひ求めてみてください(答えは3600です)．
全行足し合わせ
以下のような行列式があったとします．
\begin{vmatrix}
2 \; \; \; 3 \; \; \; 5 \; \; \; 7 \\
7 \; \; \; 5 \; \; \; 3 \; \; \; 2 \\
5 \; \; \; 2 \; \; \; 7 \; \; \; 3 \\
3 \; \; \; 7 \; \; \; 2 \; \; \; 5 \\
\end{vmatrix}
とても規則正しい並び方をしているように見えますが，どの行もどの列も異なる数字となっており，まともに計算すると0や1を作る過程で分数が大量に発生してしまいそうです．また，先ほどの頻出公式|A+B||A-B|も使える形ではなさそうです．
このような時に真価を発揮するのが全行たし合わせです．試しに１〜３行目を全て４行目に加えてみると，４行目が全て17になります．その後ルール③を用いて
\begin{vmatrix}
2 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 5 \; \; \; \; 7 \\
7 \; \; \; \; 5 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 2 \\
5 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 7 \; \; \; \; 3 \\
17 \; \; 17 \; \; 17 \; \; 17 \\
\end{vmatrix} =
17 \begin{vmatrix}
2 \; \; \; 3 \; \; \; 5 \; \; \; 7 \\
7 \; \; \; 5 \; \; \; 3 \; \; \; 2 \\
5 \; \; \; 2 \; \; \; 7 \; \; \; 3 \\
1 \; \; \; 1 \; \; \; 1 \; \; \; 1 \\
\end{vmatrix} =
17 \begin{vmatrix}
2 \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; 3 \; \; \; \; \; 5 \\
7 \; \; \; {-2} \; \; \; {-4} \; \; \; {-5} \\
5 \; \; \; {-3} \; \; \; \; 2 \; \; \; \; {-2} \\
1 \; \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; 0 \\
\end{vmatrix}
= 17・(-1) \begin{vmatrix}
1 \; \; \; \; \; 3 \; \; \; \; \; 5 \\
{-2} \; \; \; {-4} \; \; \; {-5} \\
{-3} \; \; \; \; 2 \; \; \; \; {-2} \\
\end{vmatrix}
= -17 \begin{vmatrix}
1 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 5 \\
0 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 5 \\
0 \; \; 11 \; \; 13 \\
\end{vmatrix}
= -17・(+1) \begin{vmatrix}
2 \; \; \; \; 5 \\
11 \; \; 13 \\
\end{vmatrix}
= -17・(26-55) = 17・29 = 493
と求められます．最初から最後まで素数のオンパレードでしたね．
(493も一瞬素数と捉えてしまいそうな数です...)
練習問題
１．以下のようなn次の上三角行列A（対角成分より下の成分が全て0の行列）の行列式det(A)を求めなさい．※２次検定向け
A =
\left(
\begin{array}{ccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & & & \vdots \\
0 & & a_{ii} & & a_{in} \\
\vdots & & & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{array}
\right)
ヒント：余因子展開を繰り返し適用してみる．
２．次の行列式を計算しなさい．
\begin{vmatrix}
2 \; \; \; \; {-1} \; \; \; \; 4 \; \; \; \; 3 \\
{-3} \; \; \; \; 4 \; \; \; \; 1 \; \; \; \; 2 \\
4 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; {-2} \; \; \; \; 1 \\
1 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; {-4} \\
\end{vmatrix}
ヒント：行または列の交換により公式が使える形にしてみる．
３．次の行列式を計算し，因数分解した形で答えなさい．
\begin{vmatrix}
\; \; \; \; px \; \; \; \; \; py-1 \; \; \; pz+1 \\
qx+1 \; \; \; \; \; \; qy \; \; \; \; \; \; qz-1 \\
rx-1 \; \; \; ry+1 \; \; \; \; \; rz \; \; \; \; \\
\end{vmatrix}
ヒント：サラスの方法は展開には有効だが，因数分解は難しい．
練習問題解答
１．a₁₁・a₂₂・...・aₙₙ (対角成分を全て掛け合わせたもの．Σ表記でも可)
２．900 ３．(p+q+r)(x+y+z)