こんにちは！
本日から７日間にわたって１次検定の対策記事を投稿していきます．
投稿予定は以下の通りです．(急遽変更となる可能性があります)
12/02 [問題１対策] 解と係数の関係，対称式
12/03 [問題２対策] 複素関数と主値，双曲線関数
12/04 [問題３対策] ベクトル，空間図形
12/05 [問題４対策] 級数の収束条件と和の求め方，マクローリン展開
12/06 [問題５対策] 確率の期待値，分散，共分散，確率密度関数
12/07 [問題６対策] 行列式の重要公式，特殊な行列
12/08 [問題７対策] 範囲のある二重積分
スケジュールの都合上，１回１回の内容をあまり深く掘り下げられない場合もございます...
アドベントカレンダー期間終了後も随時更新する予定なのでご期待ください！
では早速本日の内容に入りましょう！
解と係数の関係
高校数学Ⅱの「複素数と方程式」の単元において以下の式を学んだことがあるでしょう．
a≠0なる２次方程式
\begin{align}
ax^2+bx+c=0 \
\end{align}
の解を
\alpha, \beta
とおくと，
\begin{align}
\alpha + \beta &= - \frac{b}{a}, &
\alpha \beta = \frac{c}{a}
\end{align}
を満たします．
このことは，方程式の両辺を最高位の係数a(≠0)で割り，
\begin{align}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \ = (x-\alpha)(x-\beta)
\end{align}
をxに関する恒等式として係数比較することで容易に導かれます．
同様に，a≠0なる３次方程式
\begin{align}
ax^3+bx^2+cx+d=0 \
\end{align}
の解を
\alpha, \beta, \gamma
とおくと，
\begin{align}
\alpha + \beta + \gamma &= - \frac{b}{a}, &
\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &= \frac{c}{a}, &
\alpha \beta \gamma = - \frac{d}{a}
\end{align}
を満たします．
数検１級ではあまり出ませんが，４次方程式以降も同様に導かれます．
\begin{align}
\alpha + \beta + \gamma + \delta &= - \frac{b}{a}
\end{align}
\begin{align}
\alpha\beta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma + \beta\delta + \gamma\delta &= \frac{c}{a}
\end{align}
\begin{align}
\alpha\beta\gamma + \beta\gamma\delta + \gamma\delta\alpha + \delta\alpha\beta = - \frac{d}{a}
\end{align}
\begin{align}
\alpha\beta\gamma\delta = \frac{e}{a}
\end{align}
対称式
どの2つの変数を交換しても変わらない多項式のことを対称式と呼びます．
例えば
\begin{align}
x^3+y^3 \
\end{align}
という式は，xとyを入れ替えても変わらないので対称式となります．
基本対称式
２変数の場合，全ての対称式は
\begin{align}
x+y \ , xy
\end{align}
の多項式で表すことができます．
上記の例に適用してみましょう．３乗の展開式
\begin{align}
(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 = x^3+y^3+3xy(x+y) \
\end{align}
をもとにして考え，移項することで
\begin{align}
x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y) \
\end{align}
のように，確かにxとyの和と積に置き換えることができます．
同様に３変数の場合，全ての対称式は
\begin{align}
x+y+z \ , xy+yz+zx \ , xyz
\end{align}
と表せるので，
\begin{align}
x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) \ ,
\end{align}
\begin{align}
x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \
\end{align}
\begin{align}
x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz \
\end{align}
と変形することができます．
また，より一般に，
\begin{align}
x^n+y^n = (x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2}) \
\end{align}
\begin{align}
x^n+y^n+z^n = (x+y+z)(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})-(xy+yz+zx)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})+xyz(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3}) \
\end{align}
が成り立ちます．全てのnに対して両辺が等しいことは数学的帰納法で証明可能です．
(２変数の場合はn=k,k+1の成立を仮定してn=k+2で成立することを示します．"一昨日法"などと呼ばれることもあります)
練習問題
１．xの3次方程式
\begin{align}
x^3+2x^2+4x+7=0 \
\end{align}
の3つの複素数解を
\alpha, \beta, \gamma
とするとき，
\begin{align}
\alpha^4+\beta^4+\gamma^4 \
\end{align}
の値を求めなさい．
２．次の値を求めなさい．
① \sin80°\sin200°\sin320°
② \sin^2 80° + \sin^2 200° + \sin^2 320°
ヒント：３つの角度は全て○倍すると有名角になります．
まとめ
❶ 恒等式の比較により解と係数の関係を表すことができる．
❷ 解と係数の関係を基本対称式として応用することができる．
練習問題解答
１．-40
２．① √3 / 8 ② 3 / 2
※3倍角の公式よりsin3θ = 3sinθ - 4sin³θ．これらのθに80°，200°，320°を入れるとsin3θの部分は全て-√3/2となるから，sin80°，sin200°，sin320°は３次方程式(4t³ - 3t - √3/2 = 0)の３つの解に他ならない．