こんにちは！
今回は１次検定の問題７に出やすい「２重積分」および変数変換に関する対策を行います．
１変数関数の積分との違い
高校数学ⅡやⅢで学んだ(普通の)積分では，
\int_{a}^{b}f(x)dx
のように，変数xのみで構成された関数f(x)をx=aからx=bまでの区間で積分していました．
これに対し，２重積分は
\int\int_{D}f(x,y)dxdy
で表され，変数x,yで構成された関数f(x,y)を領域Dで積分することになります．
この領域Dの部分には，単純に定数の区間が入り
\int_{-1}^{1}\int_{2}^{3}f(x,y)dxdy
のようになることもあれば，片方に変数が入り
\int_{0}^{1}\int_{y^2}^{y}f(x,y)dxdy
のようになることもあります．
計算方法は，領域をx軸とy軸に分割して
\int_{0}^{1} \Biggl( \int_{y^2}^{y}f(x,y)dx \Biggr) dy
の括弧内をまずxについて積分し(このときyは定数とみなす)，次いでyについて積分することで，結果を定数として得られます．このやり方を累次積分と言います．
次章で様々な領域に対する計算パターンを見ていきましょう．
積分領域Dの形式と計算方法
以下ではf(x,y)を具体的な関数に置き換えて説明します．
１．領域Dが軸に平行な長方形であるとき
\int\int_{D}(x^2 - 2xy + 3y^2 - 1)dxdy, D = \lbrace{(x,y)|0≦x≦1, 1≦y≦2 \rbrace}
最も単純なパターンです．区間の端がいずれも定数なので，x，yのどちらから計算しても結果は変わりません．
ここではyを先に積分すると
\int_{0}^{1} \Biggl(\int_{1}^{2}(x^2 - 2xy + 3y^2 - 1)dy \Biggr)dx
= \int_{0}^{1} \biggl[ x^2y - xy^2 + y^3 - y \biggr]_{1}^{2} dx
= \int_{0}^{1} (x^2 - 3x + 6) dx
= \biggl[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 6x \biggr]_{0}^{1} = \frac{29}{6}
となります．xについて先に計算しても同様の答えになります．
なお，この結果の図形的意味としては，
z = x^2 - 2xy + 3y^2 - 1
で表された曲面(楕円放物面)について，平面D内における
(xy平面に関してz軸の正方向側にある体積) - (xy平面に関してz軸の負方向側にある体積)
を求めたものです．もし結果がマイナスであれば，負方向側の体積が大きいということです．
以下の図はdesmos(https://www.desmos.com/3d?lang=ja) で作成しています．
２．x,yいずれかの積分区間に変数が含まれるとき
２重積分では以下のように，積分領域が座標平面上の図形で示されることもあります．
問．積分領域Dは３点 (x,y) = (2,0), (2,2), (0,2) で囲まれた三角形の辺上または内部であるとする．このとき，以下の２重積分を計算せよ．
\int\int_{D}(x + y)dxdy
まずは積分領域Dをxとyの変域で表すことを試みましょう．
斜めに位置している２点 (0,2), (2,0) を通る直線は y = 2 - x であり，
三角形領域は 0≦x≦2 かつ直線 y = 2 - x と直線 y = 2 の間となるので，
D = \lbrace{\,(x,y)\,|\,0≦x≦2,\; 2-x≦y≦2\, \rbrace}
のように記述できます(2-y≦x≦2, 0≦y≦2でも可)．
よって２重積分は以下のようになります．
\int_{2-x}^{2}\int_{0}^{2}(x + y)dxdy
ここで重要なのはyの範囲に変数xが含まれていることです．もし先に変数x側の積分を行った場合，後でy側の積分を行った末xが残ってしまいます．ですから先に範囲に文字が含まれている側を積分しましょう．
\int_{0}^{2}\int_{2-x}^{2}(x + y)dydx
= \int_{0}^{2} \biggl[ xy + \frac{1}{2}y^2 \biggr]_{2-x}^{2} dx
= \int_{0}^{2} \Biggl( \frac{1}{2}x^2 + x \Biggr) dx
= \biggl[ \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \biggr]_{0}^{2} = \frac{10}{3}
３．積分順序の交換
次の二重積分があったとします．
\int_{0}^{2} \int_{x}^{2} y \sqrt{y^3+1} dy dx
yの変域に文字が含まれているため，そのままyで積分しようと試みるも，被積分関数が複雑で積分できそうにありません．
こんな時はまず，積分範囲に該当するグラフを描いてみましょう．本問であれば以下のようになります．
desmos(https://www.desmos.com/calculator/kx5lufxcx7?lang=ja) で作成しています．
\left\{0\le x\le2\right\}x\le y\le2
この範囲を以下のように変換しても同一の領域となります．
\left\{0\le y\le2\right\}0\le x\le y
これでyの範囲ではなく，xの範囲に文字が含まれるようになったので，二重積分は以下のように計算することができます．
\int_{x}^{2} \int_{0}^{2} y \sqrt{y^3+1} dx dy
= \int_{0}^{2} \int_{0}^{y} y \sqrt{y^3+1} dx dy
\int_{0}^{2} \biggl[ y \sqrt{y^3+1} x \biggr]_{0}^{y} dy
= \int_{0}^{2} y^2 \sqrt{y^3+1} dy
(ここで y^3=t とおくと，3y^2dy = dt，y:0→2のときt:0→8だから)
= \int_{0}^{8} \frac{1}{3} \sqrt{t+1} dy
= \frac{1}{3} \biggl[ \frac{2}{3} (t+1)^{3/2} \biggr]_{0}^{8}
= \frac{2}{9} (27-1) = \frac{52}{9}
ヤコビアンの利用，円座標と球座標
また後ほど加筆予定です．．すみません．．
練習問題
１．xy平面上の領域Dに対して，次の２重積分を求めなさい．
\int\int_{D}(12x^2y + 7xy^2)dxdy, D = \lbrace{(x,y)|y^2≦x≦y \rbrace}
２．次の累次積分を計算しなさい．ただし，eは自然対数の底を表します．
\int_{0}^{3}dy \int_{0}^{\sqrt{\frac{y}{3}}} \log_{e}(x^2-3x+3)dx
※https://amateurmath.web.fc2.com/files/260-1-1.pdf より引用．正答率は6.0%でした．
練習問題解答
１．1/2
２．3logₑ3 - 2