はじめに
私は数学が好きでもなければ得意でもありません。
ではなぜ数学が好きになれなかったのかを問えば、理屈がわからなかったからです。
その一つに０乗問題があります。
今回は自分なりに腑に落ちる解釈を考え書いていこうと思います。
自分と同じような一定頷ける理由付けがないとモヤモヤするタイプの方のご助力になればと思います。
一般的に良くされる説明
\begin{align}
2^2 = 2 × 2 = 4 \\
2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 \\
2^4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 \\
2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 \\
\end{align}
- 2を底とするとき、指数が上がる度に値が倍になっていく。つまり2を掛けていくことに等しい
- 2を底とするとき、指数が下がる度に値が半分になっていく。つまり2で割っていくことに等しい
その法則をあてはめれば結果的に以下のようになると、、
\begin{align}
2^0 = ? = 1 \\
2^1 = 2 × 1 = 2 \\
2^2 = 2 × 2 = 4 \\
2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 \\
2^4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 \\
2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 \\
\end{align}
日本語で表現するなら、
- 2の2乗は2を2回掛け合わせたもの
- 2の1乗は2を1回掛け合わせたもの
- 2の0乗は2を0回掛け合わせたもの
はい、2を０回掛け合わせたら1になりましたというのはとても不自然ですね。。笑
不可視の1
乗法には不可視の1が存在します。
そのため以下が成立します。
2^0 = 1
この不可視の1を数学的に正しい表現で言ったものが「乗法単位元」です。
単位元とは2項演算において、その演算を行っても値に影響を及ぼさない特別な元です。
噛み砕いていうと、意味のない計算です。
例えば1+0=1だし、1+0+0+0としてさらに0を加算しても解は変わらず1です。
加法の場合は0が単位元となります。
乗法(掛け算)の場合はこの値が1になり、乗法単位元と呼びます。
しかし、数学に疎い私はこの表現ではぱっと来ないので、不可視の1と別名を付けました。
つまり最初の2を底とする乗算は以下のように書き換え可能であるということです。
\begin{align}
2^0 = 1 = 1 \\
2^1 = 2 × 1 = 2 \\
2^2 = 2 × 2 × 1 = 4 \\
2^3 = 2 × 2 × 2 × 1 = 8 \\
2^4 = 2 × 2 × 2 × 2 × 1 = 16 \\
2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1 = 32 \\
\end{align}
即ち実際の数式には表現されていないだけで実は見えない1が存在していたのです。
これを理解すると2の1乗で2 × 1といきなり1が出現してきたことも分かりやすいのではないでしょうか。
掛け算が成立するということは不可視の1が存在しているということ
どのような値で乗法しようと影響を与えない値(乗法単位元)はそこに存在しています。
つまり、掛け算が成立するということは1がそこにあるということです。
0の0乗が1になる理由
累乗=掛け算が既に成立していると解釈できます。
なので0の累乗が1になります。
ただし、これは便宜的な解釈です。
そもそも、0を掛けるということは掛け算が成立しているとは言えないからです。
というのも掛け算とは何なのかという原初的な部分を掘り下げると、乗法は加算を抽象化した概念だからです。
2 × 2とは2を2つ足したものです。
即ち2 + 2です。
2 × 3ならば2 + 2 + 2です。
2 × 0はというと2を0回足したもの⇒何も足していないので解は0となります。
何も足していない=何もしていない=計算が成立していないと等しいです。
計算が成立しないという立場に立てば、乗算が成立しないため未定義といえます。
一方で累乗という概念は乗算が成立するしないということを論じる次元ではなく、あくまで抽象的に0の乗算が成立することを前提で話を進めた場合にそこには不可視の1が存在すると解釈できます。
おわりと余談
あくまで独断と偏見で書いた内容なのでこの理論は絶対視しないで頂きたいですが、少しでも抽象的な概念を理解する助けになればと思い書きました。
この不可視の1は哲学者ルネ・デカルトの言葉「我思う、ゆえに我あり」に通じるものがあると思います。