クローズしなければならない資源に対しては、Java7で導入された try-with-resources を使用するべき、という内容です。

記載内容

結論としては、クローズが必要な資源を使用する場合、try-with-resourcesを使用するべき。

try-finally の欠点

Java6以前は、資源の適切なクローズを保証するだったが、以下の欠点がある

間違えやすい(2007時点でJavaライブラリ内の3分の2が間違えているほど)
finally内で発生した例外が最初に発生した例外を隠してしまう

try-with-resources の利点

try-finally の問題が一挙に解決している。

資源はAutoCloseableインタフェースを実装する必要が有る
closeで例外が発生しても、最初の例外が優先される。getSuppressedメソッドで、closeで発生した例外も取得可能
catch節を記載することも可能

考察

既に try-with-resources のメリットが広く認識されており、特に問題ないと思います。

著者が間違えたというJava puzzlersのコードは以下の様なものです。

InputStream in = null;
OutputStream out = null;
try {
    in = new FileInputStream(src);
    out = new FileOutputStream(dest);
    byte[] buf = new byte[1024];
    int n;
    while ((n = in.read(buf)) > 0)
        out.write(buf, 0, n);
} finally {
    if (in != null) {
        try {
            in.close();
        } catch (IOException e) {} // クローズエラーに対して出来ることはない
    }
    if (out != null) {
        try {
            out.close();
        } catch (IOException e) {} // クローズエラーに対して出来ることはない
    }
}

何を間違えているか明示されていませんので確実ではないですが、
メインのIO処理で例外が発生せず、クローズで例外が出た場合、
その例外が握りつぶされることが問題なのかと思います。

確かに、try-with-resourcesなしで、これを綺麗に書くのは難しいですね・・・