前回の記事で、ポアソン過程からガンマ関数を導くという遊びをしましたが、Twitterでもっと簡単にガンマ関数を導く方法を知ったので、備忘録ついでに紹介します。

$\lambda>0$のとき、指数関数の積分について、次が成り立ちます。

\int_{t=0}^{\infty} e^{-\lambda t}dt = \left[ - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t} \right]_{t=0}^{\infty} \\
= \frac{1}{\lambda} \\
= \lambda ^ {-1}

この両辺を$\lambda$で微分してみます（１階微分）※。

\int_{t=0}^{\infty} \left( -t e^{-\lambda t} \right) dt = - \lambda ^ {-2}

さらに両辺を$\lambda$で微分します（２階微分）。

\int_{t=0}^{\infty} \left[ (-t)^2 e^{-\lambda t} \right] dt = (-1)(-2) \lambda ^ {-3}

この調子で両辺を$\lambda$で$k-1$階微分すると、

\int_{t=0}^{\infty} \left[ (-t)^{k-1} e^{-\lambda t} \right] dt = (-1)(-2)\cdots(-k+1) \lambda ^ {-k+1}\\
\int_{t=0}^{\infty} \left[ (-1)^{k-1}t^{k-1} e^{-\lambda t} \right] dt = (-1)^{k-1}1\cdot2\cdots(k-1)\lambda ^ {-k+1}\\
\int_{t=0}^{\infty} t^{k-1} e^{-\lambda t} dt = (k-1)!\lambda ^ {-k+1}\\
\int_{t=0}^{\infty} (\lambda t)^{k-1} e^{-\lambda t} dt = (k-1)!\\
\int_{t=0}^{\infty} t^{k-1} e^{-t} dt = (k-1)!

というわけで、現代的なガンマ関数の形（第二種オイラー積分）が出てきました。

注

ここで半無限区間の積分と微分の順序を交換しています。
参考：微分と積分の順序交換