思ったより難しいので、考えをまとめるために記録しておきます。１日では解決できません。何を調べたかを忘れそうです。

CURLの例ではこうなっているが、Json形式ではどうなるのかな？　特にファイルの指定が理解できん。Linuxなら Bulk APIの書き方と同じようです。
この３つのフィールドが必須みたいなのは、理解できるがパラメータの表示の仕方が分からない。

curl -i -X POST "https://upload.box.com/api/2.0/files/12345/content" \
     -H "Authorization: Bearer <ACCESS_TOKEN>" \
     -H "Content-Type: multipart/form-data" \
     -F attributes='{"name":"Contract.pdf", "parent":{"id":"11446498"}}' \
     -F file=@<FILE_NAME>

CURLの例からこんなJsonをイメージしたけど　ファイルのところが分からない。

"data":{"attributes":{"name":"testFile","parent":{"id":"0"}},"file":"mary had a little lamb."}}

更にファイルの関係を調べてみると

Salesforce内から既存のBoxフォルダにファイルをアップロードする方法を知っている人はいますか？

両方のプラットフォームが異なる形式のファイルを処理することがわかりました。Salesforceは通常、データをbase64形式で保存しますが、BOX.netはそれらをバイナリとして想定しています。そのため、ファイルをボックスにアップロードしている間、ファイルが破損し、ブラウザを使用してbox.netにアクセスすると、ファイルを表示できなくなります。

えええ、バイナリかい。

おまけに　Saesforceからはバイナリは送信できないことが書かれている。ああ、詰んだな。

最終的にはこれを使わないと難しいかもと思って、ソースコードを覗いてみると
https://github.com/box/box-salesforce-sdk　

無いんですね、Fileのアップロード機能は... 代わりと言えば既にBox上にあるファイルについては操作できそう。BoxFileというｵﾌﾞｼﾞｪｸﾄにオプションがあります。

UploadというのがついたオブジェクトはBoxUploadEmail があります。　もしかしてメール経由でアップする？

メールを使用したBoxへのアップロード

しかし、更に調べてみると

Apexを使用したSalesforceとBoxの統合

apexクラスでは、BLOBをBoxに直接アップロードできないため、これをバイナリデータに変換して、BoxStorageにアップロードします。

この部分が欲しいものかもしれない。

//code to upload files to BOX.COM
    @AuraEnabled
   public static String uploadFile(String base64, String filename, String folderId){
        String accessToken = getAccessToken();
        if(base64!=null){
            blob base64EncodeFile = base64EncodeFileContent(EncodingUtil.base64Decode(base64), filename);
            String uploadEndPointURL='https://upload.box.com/api/2.0/files/content?parent_id='+folderId;
            String boundary = '----------------------------741e90d31eff';
            String body = '{"name":"' + filename + '", "parent":{"id":"' + folderId + '"}}';
            HttpRequest req = new HttpRequest();
            req.setBody(body);
            req.setBodyAsBlob(base64EncodeFile);
            req.setHeader('Content-Type','multipart/form-data; boundary='+boundary);
            //req.setHeader('Content-Length',String.valueof(req.getBodyAsBlob().size()));
            req.setHeader('Authorization', 'Bearer ' + accessToken);
            req.setMethod('POST');
            req.setEndpoint(uploadEndPointURL);
            req.setTimeout(120000);
            //Send request to Box
            Http ht = new Http();
            HTTPResponse res = ht.send(req);
            
            System.debug('**Files upload Response: ' + res.getBody());
            Integer uploadStatusCode=res.getStatusCode();
            if(uploadStatusCode==201){
                return 'File uploaded successfully.';
            }else{
              throw newMessageException('Error encountered. Status Code: ' + uploadStatusCode);                
            }
        }else{
            throw newMessageException('Please select file.');
        }
   }

質問

Box - Parent Folder ID

Salesforce でBox APIを使う

関連しそうな資料

質問

Box for Salesfroce