この記事に関して

ここではpythonライブラリのblueqatを用いて量子プログラミングを行っていこうと思います。
内容は公式のチュートリアルを元に作成しています。
今回は2進数の積を実装していきます。

乗算器

ビットは 0, 1 をとるので 2進数の掛け算を考えます。
組み合わせは

0 \times 0 = 0, \ 0 \times 1 = 0, \ 1 \times 0 = 0, \ 1 \times 1 = 1

となります。
これは加算器の1桁目と同じCCXゲートで表せます。

実装

量子の重ね合わせを用いて上の4パターンを実装します。

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().h[0,1].ccx[0,1,2]
c.m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'111': 242, '010': 253, '100': 260, '000': 245})

4つのパターンを同時に出力させることができました。

乗算器 (2桁×2桁)

次は応用で2桁×2桁の乗算を考えてみます。

組み合わせは

00 \times 00 = 0000, \ 00 \times 01 = 0000, \ 00 \times 10 = 0000, \ 00 \times 11 = 0000 \\
01 \times 00 = 0000, \ 01 \times 01 = 0001, \ 01 \times 10 = 0010, \ 01 \times 11 = 0011 \\
10 \times 00 = 0000, \ 10 \times 01 = 0010, \ 10 \times 10 = 0100, \ 10 \times 11 = 0110 \\
11 \times 00 = 0000, \ 11 \times 01 = 0011, \ 11 \times 10 = 0110, \ 11 \times 11 = 1001

の16通りとなります。

考え方

まず試しに 11 × 10 を筆算で考えてみます。

\hspace{24px} 11 \\
\underline{\times \ \ 10} \\
\hspace{60px} 00 ← 1\\
\hspace{34px} \underline{\ \ \ 11 \ \ } ← 2\\
0110

1 と 2 の行を合わせた4回の計算をそれぞれ考えます。
1行目は 11 × 0 , 2行目は 11 × 1 となります。
各項4つの計算はそれぞれ 1桁の積でできるので全て CCXで実装できます。

1 と 2 の和に関しては繰り上がりを考えないといけないので加算器で実装します。

回路の作成 (1, 2行目)

今回は 1 行目だけ考えます。
11 × 0 を CCX ゲートを用いて以下の回路を考えます。

\begin{array}{ccccccc}
\left|1\right> &-&-&-&*&-& \\
\left|1\right> &-&*&-&|&-& \\
\left|0\right> &-&*&-&*&-& \\
&&|&&|&\\
\left|0\right> &-&|&-&X&-&←出力_1 \\
\left|0\right> &-&X&-&-&-&←出力_2 \\
\end{array}

上から 2 つのビットは 11 の部分で次の 1 ビットは 0 の部分となります。
出力_1 ,出力_2 は 1 × 0 を表しています。
これで 1 行目が出力されました。
2 行目も同様にしてできます。

実装

上の回路を実装します。

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().x[0,1].ccx[1,2,4].ccx[0,2,3]
c.m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'11000': 1000})

きちんと 00 が出力されました。

回路の作成 (1, 2行目の和)

11 × 10 の 1, 2 行目を考えます。
これらの和を以下の回路で表します。

\begin{array}{ccccccc}
\left|0\right> &-&-&-&*&-&*&-&-&-&-&-&-&-& \\
\left|0\right> &-&*&-&|&-&|&-&-&-&-&-&-&-& \\
\left|1\right> &-&|&-&|&-&|&-&*&-&*&-&-&-& \\
\left|1\right> &-&|&-&|&*&*&-&|&-&|&-&-&-& \\
&&&&&&& \\
\left|0\right> &-&|&-&|&|&|&-&|&-&X&-&*&-&←繰り上がり_1 \\
\left|0\right> &-&|&-&|&|&X&-&|&*&*&-&|&-&←繰り上がり_2 \\
&&&&&&& \\
\left|0\right> &-&|&-&|&|&-&-&|&|&-&-&X&-&←出力_1 \\
\left|0\right> &-&|&-&|&|&-&-&X&X&-&-&-&-&←出力_2 \\
\left|0\right> &-&|&-&X&X&-&-&-&-&-&-&-&-&←出力_3 \\
\left|0\right> &-&X&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&←出力_4 \\
\end{array}

上の4つには 1行目の 0, 0 と2行目の 1, 1 をそれぞれ入れます。
繰り上がり_1 は一番上のくらいの繰り上がりの有無を判別します。
繰り上がり_2 は上から二番目のくらいへの繰り上がりの有無を判別します。
出力は高いくらいから出力_1, 出力_2, 出力_3, 出力_4 となっています。

下のくらいから考えます。
1. 1の位はそのままなのでCXで出力_4 に渡しています。

2. 次のくらいの値は 1, 2 の該当する値を足した値なのでCXを 2 つ出力_3 に渡しています。
続けてCCXは該当する値が両方 1 ならば繰り上がりが起こるので繰り上がり_2 に渡しています。

3. 次のくらいの値は 2 の該当する値と繰り上がり_2 を足した値なのでCXを 2 つ出力_2 に渡しています。
CCXは該当する値が両方 1 ならばさらに繰り上がりが起こるので繰り上がり_1 に渡しています。

4. 一番上のくらいは繰り上がった数のみがくるのでCXで繰り上がり_1 を出力_1 に渡しています。

実装

上パターンを実装します。

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().x[2,3]
c.cx[1,9] # 1
c.cx[0,8].cx[3,8].ccx[0,3,5] # 2
c.cx[2,7].cx[5,7].ccx[2,5,4] # 3
c.cx[4,6] # 4
c.m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0011000110': 1000})

最後の4桁を見ると答えが取れたことがわかります。

回路の作成 (全体)

11 × 10 を計算します。
上の2つの回路を組み合わせて以下の回路を作ります。

\begin{array}{ccccccc}
\left|1\right> &-&*&-&*&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-& \\
\left|1\right> &*&|&*&|&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-& \\
\left|1\right> &|&|&*&*&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-& \\
\left|0\right> &*&*&|&|&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-& \\
&&&&&&& \\
\left|0\right> &|&X&|&|&-&-&*&-&*&-&-&-&-&-&←1 \\
\left|0\right> &X&-&|&|&-&*&|&-&|&-&-&-&-&-&←1 \\
\left|0\right> &-&-&|&X&-&|&|&-&|&*&-&*&-&-&←2 \\
\left|0\right> &-&-&X&-&-&|&|&*&*&|&-&|&-&-&←2 \\
&&&&&&& \\
&&&&&\left|0\right>&|&|&|&|&|&-&X&*&-&←繰り上がり_1 \\
&&&&&\left|0\right>&|&|&|&X&|&*&*&|&-&←繰り上がり_2 \\
&&&&&&& \\
&&&&&\left|0\right>&|&|&|&-&|&|&-&X&-&←出力_1 \\
&&&&&\left|0\right>&|&|&|&-&X&X&-&-&-&←出力_2 \\
&&&&&\left|0\right>&|&X&X&-&-&-&-&-&-&←出力_3 \\
&&&&&\left|0\right>&X&-&-&-&-&-&-&-&-&←出力_4 \\
\end{array}

左上の操作は 1, 2 行目を計算しています。
右下は 1, 2 行目の和を計算しています。

実装

上パターンを実装します。

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().x[0,1,2]

# 左上
c.ccx[1,3,5].ccx[0,3,4].ccx[1,2,7].ccx[0,2,6]

# 右下
c.cx[4,13].cx[4,12].cx[7,12].ccx[4,7,9].cx[6,11].cx[9,11].ccx[6,9,8].cx[8,10]

c.m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'11100011000110': 1000})

最後の4桁を見ると答えが取れたことがわかります。

まとめ

今回はblueqatを用いて2進数の積を実装しました。
次回は量子テレポーションをblueqatで実装してみます。