問題
解法
山 $i$ に降った雨の量を $2x_i$ とおくと、ダム $i$ に流れ込む雨の量は $x_i + x_{i+1}$ です（ただし、$x_{N+1} = x_1$）。
したがって、問いは次の連立方程式を条件 $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \cdots, x_N \geq 0
$ のもとで解くことに置き換えられます。
\begin{align}
x_1 + x_2 &= A_1, \\
x_2 + x_3 &= A_2, \\
\vdots \\
x_N + x_1 &= A_N. \\
\end{align}
まず、
A_1 + A_2 + \cdots + A_N = 2(x_1 + x_2 + \cdots + x_N)
ですから、雨量の総和は簡単に求められます。次に、$N$ は奇数である という重要な制約により、
\begin{align}
& x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \cdots + x_{N-2} + x_{N-1} + x_N \\
= & (x_1 + x_2) + (x_3 + x_4) + \cdots + (x_{N-2} + x_{N-1}) + x_N \\
= & A_1 + A_3 + \cdots + A_{N-2} + x_N
\end{align}
となるので、先ほど求めた雨量の総和から $x_N$ を求めることができます。
$x_N$ がわかったので、連立方程式の第 $N$ 式から $x_1$ も求められます。以下、芋づる式に第 $i$ 式から $x_{i+1}$ を求めることができて、問題が解けました。
答えを出力する際は、山 $i$ の雨量が $2x_i$ であることに注意してください。
感想
これをひらめいたときに「$N$ は奇数である」っていう制約を文中に見つけてガッツポーズしました。