なんとなく脳トレがてら1日1問解説しようと思っただけです．飽きたらやめます．
明日以降は一階線形微分方程式を扱う予定です．
問題
微分方程式，
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}+\frac{x}{y},
を解け．
ポイント
- 見るからに$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left( \dfrac{y}{x} \right)$ の 同次形 です．
- 同次形では，$u=\dfrac{y}{x}$ とおくことにより，$ \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\dfrac{f(u)-u}{x}$ の変数分離形を作ることができます（明日に証明を問題にします）．
- $u$ は $x$ についての関数であることに注意してください．
- 同次形については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．
解説
同次形なので，$u=\dfrac{y}{x}$ とおくことにします．
さて， これを整理した $y=ux$ の両辺を $x$ で微分することで（$u$ は $x$ の関数であることに注意しましょう），
\begin{align*}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\times x + u\times 1=x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u,
\end{align*}
が得られます（同次形のときは毎回この式が登場するので，ここまでの流れは暗記してもまぁ大丈夫です．）．ここで，$\left(f(x)g(x)\right)^\prime = f(x)^{\prime}g(x)+f(x)g(x)^{\prime}$ ，「積の微分」と呼ばれるものを用いました．
上記を微分方程式に代入して整理したいのですが，右辺第2項は $\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{u}$ となるため，$u$ が恒等的に 0 になってはNGです．そこで，場合分けを行いましょう．
① $u\neq 0$ のとき
\begin{align*}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{y}{x}+\frac{x}{y},\\
x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u&=u+\frac{1}{u},\\
x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{u},\\
\therefore u\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{x},\\
\end{align*}
と変形できます．そんなわけで，無事に変数分離形を得ることが出来ました．
あとは両辺を $x$ で積分し，整理していきましょう．
\begin{align*}
\int u\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x,\\
\int u\mathrm{d}u&=\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x,\\
\frac{1}{2}u^2&=\log|~x~| + C_1~~~（C_1: 任意定数）,\\
u^2&=2(\log|~x~| + C_1),\\
u^2&=2\log|~x~| + 2C_1,\\
u^2&=\log|~x~|^2 + 2C_1,\\
\therefore u^2&=\log x^2 + 2C_1.
\end{align*}
ここで，$a\log b = \log b^a$ を用いました．
最後に，$u=\dfrac{y}{x}$ とおいたことを思い出して，
\begin{align*}
\left(\frac{y}{x}\right)^2&= \log x^2 + 2C_1,\\
\therefore y^2&= x^2(\log x^2 + C)~~~(C: 任意定数).
\end{align*}
と求めることが出来ました．
なお，特に指定の無い場合は，$y$ について解く（陽関数の形にする）必要はありません．
② $u=0$ のとき
$u=0$ のとき， すなわち $\dfrac{y}{x}=0$ のとき， $y=0$ です．
ただし $y(x)=0$ は，任意の実数 $x$ に対して，恒等的に $y$ が 0 になることを意味するため，元の微分方程式，
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}+\frac{x}{y},
を満たしません（右辺第二項より）．
したがって，本問の微分方程式 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}$ の解は，$x\neq 0$ に対して，
y^2= x^2(\log x^2 + C)~~~(C:任意定数).
【参考】 Wolframalpha
非常に便利なので皆さん積極的に使っていきましょう．